Independência linear II. (a) Sejam
e
dois vetores linearmente independentes. Mostre que qualquer vetor
coplanar com
e
possui uma expansão única,
, com respeito a
e
.
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Sejam A e B dois vetores linearmente independentes. Mostre que qualquer vetor C coplanar com A e B pode ser escrito como
de um jeito único (isto é, só existe um par
que funciona).
Conteúdo: independência linear e combinação linear (span).
O que precisamos:
Conteúdo: independência linear e combinação linear (span).
O que precisamos:
- Saber que “coplanar” significa “está no span dos vetores A e B”.
- Entender definição de combinação linear.
- Usar definição de independência linear para provar unicidade.
Passo 2
Primeiro, existência da expansão.
Definição básica: a combinação linear de A e B é qualquer vetor da forma . O conjunto de todos esses é o span, escrito
.
Como C é coplanar com A e B, “coplanar” é exatamente dizer que
Definição básica: a combinação linear de A e B é qualquer vetor da forma
Como C é coplanar com A e B, “coplanar” é exatamente dizer que
Logo, por definição, já existe pelo menos um par de escalares
tal que
Passo 3
Agora, unicidade dessa expansão.
Suponha, por absurdo, que existam dois jeitos diferentes de escrever C:
Suponha, por absurdo, que existam dois jeitos diferentes de escrever C:
com
. Então, subtraindo as duas igualdades, vem
Mas A e B são linearmente independentes; isso significa que a única forma de
é ter
é ter
Logo
e
, o que contraria a suposição de que eram diferentes.
Resposta
Portanto, para qualquer vetor C coplanar com A e B, existe exatamente um par de escalares
tal que
e não há outra forma de escrever C como combinação de A e B.