Independência linear II. (a) Sejam A e B dois vetores linearmente independentes. Mostre que qualquer vetor C coplanar com A e B possui uma expansão única, C=a A+b B, com respeito a A e B.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Sejam A e B dois vetores linearmente independentes. Mostre que qualquer vetor C coplanar com A e B pode ser escrito como
C = a,A + b,B
de um jeito único (isto é, só existe um par que funciona).
Conteúdo: independência linear e combinação linear (span).
O que precisamos:
  • Saber que “coplanar” significa “está no span dos vetores A e B”.
  • Entender definição de combinação linear.
  • Usar definição de independência linear para provar unicidade.

Passo 2

Primeiro, existência da expansão.
Definição básica: a combinação linear de A e B é qualquer vetor da forma C;in;spanA,B . O conjunto de todos esses é o span, escrito C ;=; a,A + b,B .
Como C é coplanar com A e B, “coplanar” é exatamente dizer que
Logo, por definição, já existe pelo menos um par de escalares tal que

Passo 3

Agora, unicidade dessa expansão.
Suponha, por absurdo, que existam dois jeitos diferentes de escrever C:
C = a,A + b,B e C = a',A + b',B,
com 0 ;=; l(a,A+b,Br) ;-; l(a',A+b',Br) ;=; (a - a'),A ;+;(b - b'),B . Então, subtraindo as duas igualdades, vem
a - a' = 0 e b - b' = 0
Mas A e B são linearmente independentes; isso significa que a única forma de

é ter
Logo e , o que contraria a suposição de que eram diferentes.

Resposta

Portanto, para qualquer vetor C coplanar com A e B, existe exatamente um par de escalares boxed C ;=; a,A + b,B tal que
e não há outra forma de escrever C como combinação de A e B.

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