Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X, prove:
(a) Se X é finito e Y \subset X então card Y \leq \operatorname{card} X.
(b) Se X e Y são finitos então X \cup Y é finito e
\operatorname{card}(X \cup Y)=\operatorname{card} X+\operatorname{card} Y-\operatorname{card}(X \cap Y)

Passo 1

O enunciado pede para usar a noção de conjunto finito e sua cardinalidade (denotada por \operatorname{card}) para provar duas coisas:
(a) que se X é finito e Y\subset X então \operatorname{card}Y\le\operatorname{card}X;
(b) que, se X e Y são finitos, então X\cup Y também é finito e satisfaz a fórmula de inclusão-exclusão
\operatorname{card}(X\cup Y) =\operatorname{card}X+\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y).
Para isso vamos usar a definição de conjunto finito via bijeções com \{1,2,\dots,n\} e as propriedades de injeções, restrições e uniões disjuntas.

Passo 2

Definição e propriedade fundamental. Dizemos que um conjunto A é finito se existe bijeção
f\colon\{1,2,\dots,n\}\longrightarrow A
para algum n\in\mathbb{N}. Nesse caso chamamos \operatorname{card}A=n.
Uma consequência importante é:
se f\colon\{1,\dots,n\}\to X é bijetora e Y\subset X, então a restrição
f|_{f^{-1}(Y)}\colon f^{-1}(Y)\longrightarrow Y
é bijetora entre f^{-1}(Y)\subset\{1,\dots,n\} e Y. Logo Y é finito e
\operatorname{card}Y=\#f^{-1}(Y)\le n=\operatorname{card}X.

Passo 3

Prova de (a). Seja \operatorname{card}X=n. Pela definição existe bijeção
f\colon\{1,2,\dots,n\}\longrightarrow X.
Como Y\subset X, o conjunto f^{-1}(Y) é subset de \{1,\dots,n\}. A bijeção restrita
f|_{f^{-1}(Y)}\colon f^{-1}(Y)\to Y
mostra que Y é finito com
\operatorname{card}Y=\#f^{-1}(Y)\le n=\operatorname{card}X.
Logo (a) está provado.

Passo 4

Propriedade da diferença e interseção. Se X e Y são finitos, então X\cap Y\subset Y é finito por (a). Além disso Y se decompõe como união disjunta
Y=(X\cap Y)\,\dot\cup\,(Y\setminus X),
portanto, como soma de cardinalidades em união disjunta,
\operatorname{card}Y =\operatorname{card}(X\cap Y)+\operatorname{card}(Y\setminus X).
Dessa igualdade segue
\operatorname{card}(Y\setminus X) =\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y).

Passo 5

União de disjuntos. Se A e B são finitos e A\cap B=\emptyset, então podemos enumerar A em \{1,\dots,a\} e B em \{1,\dots,b\}. Uma bijeção para A\cup B é dada mandando
1,\dots,a\mapsto A \quad\text{e}\quad a+1,\dots,a+b\mapsto B.
Isso mostra que A\cup B é finito e
\operatorname{card}(A\cup B)=a+b =\operatorname{card}A+\operatorname{card}B.

Passo 6

Conclusão de (b). Tome A=X e B=Y\setminus X. Sabemos que B é finito por passo 4 e X\cap B=\emptyset. Então
\operatorname{card}(X\cup(Y\setminus X)) =\operatorname{card}X+\operatorname{card}(Y\setminus X).
Como X\cup(Y\setminus X)=X\cup Y e \operatorname{card}(Y\setminus X) =\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y), obtemos
\operatorname{card}(X\cup Y) =\operatorname{card}X +\bigl(\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y)\bigr) =\operatorname{card}X+\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y).

Resposta

(a) Se Y\subset X então \operatorname{card}Y\le\operatorname{card}X.
(b) Se X e Y são finitos então X\cup Y é finito e
\operatorname{card}(X\cup Y) =\operatorname{card}X+\operatorname{card}Y-\operatorname{card}(X\cap Y).

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