3^{\circ} ) Aplique o método de Euler para determinar a solução numérica para a Equação Diferencial Ordinária: y^{\prime}(x)-5 y=3 x, com y(0)=1 e h=0,1 no intervalo [0,1]. Utilize 5 casas decimais para os valores de y.

Passo 1

O enunciado pede a solução numérica do problema de valor inicial
y'(x)-5y(x)=3x,\quad y(0)=1
no intervalo [0,1] usando o método de Euler com passo h=0,1. O conteúdo aqui é o método de Euler explícito para EDOs, que aproxima a derivada por diferença finita.

Passo 2

Definimos a função \displaystyle f(x,y)=y'(x)=5y+3x. No método de Euler, a cada passo calculamos
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n)
com x_{n+1}=x_n+h e y_0=1, x_0=0.

Passo 3

Vamos aplicar iterativamente a fórmula:
y_{n+1}=y_n + 0,1\bigl(5y_n +3x_n\bigr).
Mostramos o primeiro passo: para n=0, x_0=0, y_0=1,
f(x_0,y_0)=5\cdot1+3\cdot0=5,\quad y_1=1+0,1\cdot5=1,5.

Passo 4

Repetindo para n=1,2,\dots,9 obtemos:
\begin{array}{c|c|c} n & x_n & y_n \\\ \hline 0 & 0,0 & 1,00000\\\\ 1 & 0,1 & 1,50000\\\\ 2 & 0,2 & 2,28000\\\\ 3 & 0,3 & 3,48000\\\\ 4 & 0,4 & 5,31000\\\\ 5 & 0,5 & 8,08500\\\\ 6 & 0,6 & 12,27750\\\\ 7 & 0,7 & 18,59625\\\\ 8 & 0,8 & 28,10438\\\\ 9 & 0,9 & 42,39656\\\\ 10& 1,0 & 63,86484 \end{array}

Resposta

x_0=0,0,\;y_0=1,00000
x_1=0,1,\;y_1=1,50000
x_2=0,2,\;y_2=2,28000
x_3=0,3,\;y_3=3,48000
x_4=0,4,\;y_4=5,31000
x_5=0,5,\;y_5=8,08500
x_6=0,6,\;y_6=12,27750
x_7=0,7,\;y_7=18,59625
x_8=0,8,\;y_8=28,10438
x_9=0,9,\;y_9=42,39656
x_{10}=1,0,\;y_{10}=63,86484

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