Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100^-0 C em um quarto com temperatura constante de 0^circ C. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 50^circ C, determine:
(b) A temperatura da barra após 10 min .

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo: temos uma barra metálica inicialmente a 100 °C colocada num ambiente a 0 °C. Após 20 min a temperatura chega a 50 °C. O conteúdo da matéria é a lei de resfriamento de Newton, e vamos precisar dela para determinar a constante de proporcionalidade k e, em seguida, calcular a temperatura após 10 min.

Passo 2

Apresentamos a lei de resfriamento de Newton, cuja solução geral para a temperatura T(t) é definida por:
T(t) = Ts + (T0 - Ts),e^-k t
onde Ts é a temperatura do ambiente, T0 a temperatura inicial e k a constante.

Passo 3

Determinação de k usando a condição em t = 20 min:
T(20) = 50 = 0 + (100 - 0),e^-20k implies e^-20k = tfrac50100 = 0.5 implies -20k = ln(0.5) = -ln2 implies k = ln220

Passo 4

Cálculo da temperatura em t = 10 min substituindo o valor de k:
T(10) = 0 + 100,e^-kcdot10 = 100,e^-10ln220 = 100,e^-ln22 = 100e^ln22 = 1002^1/2 approx 70.71,^circC

Resposta

A temperatura da barra após 10 min é 100raiz2approx70,71,^circC.

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