Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). Justifique sua resposta.
a) O conjunto W=\left\{X \in M(2,2) ; X^{2}=I\right\} é subespaço vetorial de M(2,2).
b) O conjunto dos polinômios de grau igual a 2 é subespaço vetorial de P_{3}.
c) Seja B uma matriz fixa em M(2,2). A matriz identidade I_{2 \times 2} pertence ao subespaço W=\{X \in M(2,2) ; X B-B X=0\}.
d) Se V_{1} e V_{2} são subespaços de V tais que V_{1}+V_{2}=V_{1} \cap V_{2}, então V_{1}=V_{2}=\{0\} (esse item é particularmente difícil de demonstrar).
e) O gráfico da função f, definido por
G r(f)=\{(x, y) ; y=f(x)=|x|\}
é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). O tema central é reconhecer subespaços vetoriais em espaços como M(2,2), P_3 e \mathbb{R}^2. Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e só se (i) 0\in W, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

(a) W=\{X\in M(2,2)\mid X^2=I\}.
  1. O zero não pertence a W, pois
0^2 = 0 \neq I.
  1. Logo 0\notin W e já falha o item (i). Portanto W não é subespaço.
    Conclusão: (a) é Falsa.

Passo 3

(b) Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 em P_3.
  1. O polinômio zero tem grau -\infty, não grau 2, então 0\notin W.
  2. Mesmo somando dois polinômios de grau 2, pode ocorrer cancelação e dar grau <2, portanto não há fechamento por soma.
    Conclusão: (b) é Falsa.

Passo 4

(c) Seja B fixo em M(2,2) e
W=\{X\in M(2,2)\mid X\,B - B\,X = 0\}.
  1. Note que I B - B I = B - B = 0, logo I\in W.
  2. Se X_1,X_2 comutam com B, então (X_1+X_2)B - B(X_1+X_2)=0 e para escalar \lambda, (\lambda X_1)B - B(\lambda X_1)=\lambda(X_1B - B X_1)=0.
  3. Assim W contém 0, é fechado sob soma e escalar; é subespaço e I\in W.
    Conclusão: (c) é Verdadeira.

Passo 5

(d) Se V_1,V_2 são subespaços tais que V_1+V_2=V_1\cap V_2, então seria V_1=V_2=\{0\}?
  1. Contra-exemplo: tome V_1=V_2=V. Então V_1+V_2=V e V_1\cap V_2=V, logo são iguais, mas não triviais.
    Conclusão: (d) é Falsa.

Passo 6

(e) Gráfico de f(x)=|x|:
\mathrm{Gr}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=|x|\}.
  1. Tem (0,0), mas se (1,1)\in\mathrm{Gr}(f), então (-1)\cdot(1,1)=(-1,-1)\notin\mathrm{Gr}(f) pois -1\neq|{-1}|.
  2. Falha a multiplicação por escalares.
    Conclusão: (e) é Falsa.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) F
e) F

Exercícios relacionados