Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras (
) ou falsas (
). Justifique sua resposta.
a) O conjunto
é subespaço vetorial de
.
b) O conjunto dos polinômios de grau igual a 2 é subespaço vetorial de
.
c) Seja
uma matriz fixa em
. A matriz identidade
pertence ao subespaço
.
d) Se
e
são subespaços de
tais que
, então
(esse item é particularmente difícil de demonstrar).
e) O gráfico da função
, definido por
é subespaço vetorial de
.
a) O conjunto
b) O conjunto dos polinômios de grau igual a 2 é subespaço vetorial de
c) Seja
d) Se
e) O gráfico da função
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos classificar cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F). O tema central é reconhecer subespaços vetoriais em espaços como
,
e
. Lembrando que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e só se (i)
, (ii) fechado sob soma e (iii) fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
(a)
.
- O zero não pertence a
, pois
- Logo
e já falha o item (i). Portanto não é subespaço.
Conclusão: (a) é Falsa.
Passo 3
(b) Conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 em
.
- O polinômio zero tem grau
, não grau 2, então . - Mesmo somando dois polinômios de grau 2, pode ocorrer cancelação e dar grau <2, portanto não há fechamento por soma.
Conclusão: (b) é Falsa.
Passo 4
(c) Seja
fixo em
e
- Note que
, logo . - Se
comutam com , então e para escalar , . - Assim
contém , é fechado sob soma e escalar; é subespaço e .
Conclusão: (c) é Verdadeira.
Passo 5
(d) Se
são subespaços tais que
, então seria
?
- Contra-exemplo: tome
. Então e , logo são iguais, mas não triviais.
Conclusão: (d) é Falsa.
Passo 6
(e) Gráfico de
:
- Tem
, mas se , então pois . - Falha a multiplicação por escalares.
Conclusão: (e) é Falsa.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
b) F
c) V
d) F
e) F