Considere o espaço vetorial real
\mathcal{C}^{0}([0, \pi])=\{f:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R} ; f é contínua \} munido com o produto interno:
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{\pi} f(t) g(t) d t, \quad \forall f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi])
A distância d=d(f, g) entre as funções f, g \in \mathcal{C}^{0}([0, \pi]) é definida por
d(f, g)=\|f-g\|
Calcular a distância entre as funções f(t)=\operatorname{sen} t e g(t)=\cos t.

Passo 1

O enunciado define o espaço \mathcal{C}^0([0,\pi]) com o produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{\pi} f(t)\,g(t)\,dt
e a norma induzida
\|h\| = \sqrt{\langle h,h\rangle}\,.
Pede-se a distância \,d(f,g)=\|f-g\|
entre f(t)=\sin t e g(t)=\cos t.

Passo 2

Pela definição,
d(f,g) = \|\,f-g\| = \sqrt{\langle f-g,\,f-g\rangle}\,.

Passo 3

Calculemos o produto interno
\langle f-g,\,f-g\rangle =\int_{0}^{\pi}(\sin t - \cos t)^{2}\,dt.

Passo 4

Expandindo o quadrado e usando \sin^2t+\cos^2t=1,
(\sin t - \cos t)^{2} = \sin^2t + \cos^2t - 2\,\sin t\,\cos t = 1 - 2\,\sin t\,\cos t.

Passo 5

Separamos a integral em duas partes:
\int_{0}^{\pi}1\,dt = \pi,
\int_{0}^{\pi}\sin t\,\cos t\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt = \frac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\bigr]_{0}^{\pi} = 0.
Logo
\langle f-g,\,f-g\rangle = \pi - 2\cdot 0 = \pi.

Passo 6

Portanto
d(f,g) = \sqrt{\langle f-g,\,f-g\rangle} = \sqrt{\pi}.

Resposta

\displaystyle d(f,g)=\sqrt{\pi}.

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