Havendo uma recessão econômica, o lucro anual de uma empresa americana diminuiu de US$840.000, em 2003, para US$ 630.000, em 2005. Se o lucro segue um modelo exponencial de decaimento, em relação ao tempo t, dado por
P(t)=C e^{k t}
onde C e k são constantes positivas, qual é o lucro esperado em 2008 ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (tudo abaixo são dados do problema):
  • Modelo do lucro em função do tempo: P(t)=C e^{k t}, com C e k constantes.
  • Lucro em 2003: P(2003)=\$840\,000.
  • Lucro em 2005: P(2005)=\$630\,000.
O que o problema pede:
  • Encontrar o lucro esperado em 2008.

Passo 2

Escolher uma referência de tempo para t. Uma escolha natural é tomar t=0 em 2003, assim:
  • t=0 corresponde a 2003,
  • t=2 corresponde a 2005,
  • t=5 corresponde a 2008.
Com essa escolha, P(0)=C e^{k\cdot 0}=C. Como o enunciado diz que o lucro em 2003 foi \$840\,000, segue que
C = \$840\,000.
Esta é a constante inicial do modelo.

Passo 3

Usar o dado de 2005 para determinar k. Em t=2 (ano 2005) temos P(2)=\$630\,000. Substituindo na fórmula:
P(2)=C e^{2k} \quad\Rightarrow\quad \$630\,000 = \$840\,000 \, e^{2k}.
Dividindo ambos os lados por \$840\,000,
e^{2k} = \frac{630\,000}{840\,000} = \frac{3}{4}.
Agora podemos obter k. Uma forma direta é usar logaritmo natural:
2k = \ln\!\left(\frac{3}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad k = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{4}\right).
Note que \ln(3/4)<0, portanto k<0: o modelo é de decaimento exponencial (isto é consistente com a queda do lucro).
Também é útil isolar e^{k} porque será prático depois:
e^{k} = \sqrt{e^{2k}} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular o lucro em 2008, que corresponde a t=5. Usando P(t)=C e^{k t} com C=\$840\,000,
P(5)=\$840\,000 \; e^{5k}.
Para calcular e^{5k} podemos usar que 5k=2k+2k+k, logo
e^{5k}=e^{2k}\,e^{2k}\,e^{k}=(\tfrac{3}{4})^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Fazendo as contas algébricas:
(\tfrac{3}{4})^{2}=\tfrac{9}{16}, \qquad e^{5k}=\tfrac{9}{16}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{32}.
Portanto
P(5)=\$840\,000\cdot\frac{9\sqrt{3}}{32}.
Agora calcular numericamente passo a passo (sem pular etapas):
\frac{\$840\,000}{32}=\$26\,250,
\$26\,250\cdot 9=\$236\,250,
\$236\,250\cdot\sqrt{3}\approx \$236\,250\cdot 1{,}73205\approx \$409\,196{,}81.
Arredondando para o dólar mais próximo, o lucro esperado em 2008 é aproximadamente \$409\,197.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: isso significa que, segundo o modelo exponencial ajustado às informações de 2003 e 2005, o lucro cai de \$840\,000 (2003) para \$630\,000 (2005) e chegaria a cerca de \$409\,197 em 2008. Dá para ver claramente que k<0 e que o decaimento é contínuo e exponencial — que é o comportamento que o modelo prescreve. Continua firme nos estudos, você tá indo bem!

Resposta

\$409\,197

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