Havendo uma recessão econômica, o lucro anual de uma empresa americana diminuiu de US$840.000, em 2003, para US$ 630.000, em 2005. Se o lucro segue um modelo exponencial de decaimento, em relação ao tempo
, dado por
onde
e
são constantes positivas, qual é o lucro esperado em 2008 ?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (tudo abaixo são dados do problema):
- Modelo do lucro em função do tempo:
, com e constantes. - Lucro em 2003:
. - Lucro em 2005:
.
O que o problema pede:
- Encontrar o lucro esperado em 2008.
Passo 2
Escolher uma referência de tempo para
. Uma escolha natural é tomar
em 2003, assim:
-
corresponde a 2003, -
corresponde a 2005, -
corresponde a 2008.
Com essa escolha,
. Como o enunciado diz que o lucro em 2003 foi
, segue que
Esta é a constante inicial do modelo.
Passo 3
Usar o dado de 2005 para determinar
. Em
(ano 2005) temos
. Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
,
Agora podemos obter
. Uma forma direta é usar logaritmo natural:
Note que
, portanto
: o modelo é de decaimento exponencial (isto é consistente com a queda do lucro).
Também é útil isolar
porque será prático depois:
Passo 4
Calcular o lucro em 2008, que corresponde a
. Usando
com
,
Para calcular
podemos usar que
, logo
Fazendo as contas algébricas:
Portanto
Agora calcular numericamente passo a passo (sem pular etapas):
Arredondando para o dólar mais próximo, o lucro esperado em 2008 é aproximadamente
.
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: isso significa que, segundo o modelo exponencial ajustado às informações de 2003 e 2005, o lucro cai de
(2003) para
(2005) e chegaria a cerca de
em 2008. Dá para ver claramente que
e que o decaimento é contínuo e exponencial — que é o comportamento que o modelo prescreve. Continua firme nos estudos, você tá indo bem!