Indique se cada uma das seguintes redes é de Bravais. Se sim, escreva os vectores primitivos; se não, descreva-a como uma rede de Bravais com uma base:
Rede cúbica com pontos nos centros das faces verticais;

Passo 1

O enunciado descreve uma rede sobre um reticulado cúbico de aresta a em que, além dos vértices do cubo, existem pontos apenas nos centros das quatro faces verticais (i.e.\ nas faces paralelas aos planos yz e xz), mas não nas faces horizontais. O assunto é identificação de redes de Bravais e, se não for Bravais, sua descrição como rede de Bravais com base.

Passo 2

Para ser uma rede de Bravais, todo ponto deve ter exatamente o mesmo entorno e a mesma vizinhança; aqui há dois tipos de pontos:
  1. Vértices do cubo, que têm 8 vizinhos a distância a;
  2. Centros das faces verticais, que têm vizinhança diferente (por exemplo, só 4 vértices à distância \tfrac{a}{2} e 4 centros de faces adjacentes).
    Não existe nenhum vetor de translação que leve um vértice a um centro de face sem sair da rede. Logo, não é uma rede de Bravais.

Passo 3

Podemos descrever essa rede como uma rede de Bravais simples cúbica com aresta a e base de pontos dentro da célula convencional. Os vectores primitivos da rede cúbica simples são
\mathbf{a}_1 = (a,0,0),\quad \mathbf{a}_2 = (0,a,0),\quad \mathbf{a}_3 = (0,0,a).
Para reproduzir os centros das faces verticais, adicionamos à posição de cada vértice (i.e.\ à base em (0,0,0)) dois vetores de base
\mathbf{r}_2 = \bigl(0,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\bigr), \quad \mathbf{r}_3 = \bigl(\tfrac{a}{2},0,\tfrac{a}{2}\bigr).
Assim, todo ponto da rede pode ser escrito como
n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3 \quad\text{ou}\quad n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3 + \mathbf{r}_i,
com i=2,3 e n_j\in\mathbb{Z}.

Resposta

Não é uma rede de Bravais. Pode ser descrita como rede cúbica simples com vectores primitivos
\mathbf{a}_1=(a,0,0),\quad \mathbf{a}_2=(0,a,0),\quad \mathbf{a}_3=(0,0,a)
e base com três pontos em
\mathbf{r}_1=(0,0,0), \quad \mathbf{r}_2=\bigl(0,\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\bigr), \quad \mathbf{r}_3=\bigl(\tfrac{a}{2},0,\tfrac{a}{2}\bigr).

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