Identifique a rede de Bravais cujos pontos têm coordenadas cartesianas ( n_{1}, n_{2}, n_{3} ) em que:
(a) todos os n_{i} são ímpares;
(b) n_{1}+n_{2}+n_{3} é par.

Passo 1

O enunciado nos dá duas coleções de pontos em \mathbb{R}^3 com coordenadas inteiras (n_1,n_2,n_3) sujeitas a condições de paridade, e pede para identificar a rede de Bravais correspondente em cada caso. O conteúdo é classificação de redes cúbicas (simples, corpo-centrada, faces-centradas) usando condição de paridade nos índices.

Passo 2

Para o caso (a), temos
n_1,n_2,n_3\text{ todos ímpares}í
ou seja cada ponto pode ser escrito como
(n_1,n_2,n_3)=(2k+1,\;2\ell+1,\;2m+1), \quad k,\ell,m\in\mathbb{Z}.
A diferença entre dois pontos quaisquer é
(2k+1,2\ell+1,2m+1)-(2k'+1,2\ell'+1,2m'+1) =(2(k-k'),\;2(\ell-\ell'),\;2(m-m')),
portanto os vetores de translação primitivas podem ser escolhidos como
\mathbf{a}_1=(2,0,0),\quad \mathbf{a}_2=(0,2,0),\quad \mathbf{a}_3=(0,0,2).
Isto mostra que os pontos formam uma rede cúbica simples de parâmetro a=2, deslocada da origem para (1,1,1).
Logo, em (a) a rede de Bravais é cúbica simples (SC) com parâmetro 2.

Passo 3

Para o caso (b), a condição é
n_1+n_2+n_3\text{ é par}.é
Isso significa que (n_1,n_2,n_3) pode ter paridades (\text{par},\text{par},\text{par}) ou (\text{par},\text{ímpar},\text{ímpar})íí (e permutações), mas sempre soma par. Sejam dois pontos com soma par; a diferença (\Delta n_1,\Delta n_2,\Delta n_3) também satisfaz \Delta n_1+\Delta n_2+\Delta n_3 par. Podemos então escolher vetores primitivos que preservam essa condição, por exemplo
\mathbf{a}_1=(1,1,0),\quad \mathbf{a}_2=(1,0,1),\quad \mathbf{a}_3=(0,1,1),
e verificar que qualquer combinação inteira u\mathbf{a}_1+v\mathbf{a}_2+w\mathbf{a}_3 tem soma de coordenadas par.
Esses vetores são exatamente os vetores primitivos de uma rede cúbica de faces centradas (FCC).

Resposta

(a) Rede cúbica simples (SC) com parâmetro de rede 2.
(b) Rede cúbica de faces centradas (FCC).

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