Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos
b) \frac{6 \pi}{5}

Passo 1

O enunciado pede as extremidades do arco orientado de comprimento angular \tfrac{6\pi}{5} no ciclo trigonométrico (circunferência unitária). Em um arco padrão partindo de \,(1,0) e girando no sentido anti-horário, a extremidade inicial é sempre (1,0) e a extremidade final é o ponto de coordenadas \bigl(\cos\theta,\sin\theta\bigr) com \theta=\tfrac{6\pi}{5}.

Passo 2

Para encontrar a extremidade final, usamos as fórmulas fundamentais da circunferência trigonométrica:
x=\cos\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr), \quad y=\sin\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr).
Observamos que \tfrac{6\pi}{5}=\pi+\tfrac{\pi}{5}, ou seja, o ângulo está no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são negativos, e seu ângulo de referência é \tfrac{\pi}{5}.

Passo 3

Usando os valores exatos para \pi/5:
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt5+1}{4}, \quad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4},
temos
\cos\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr) =-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) =-\frac{\sqrt5+1}{4}, \quad \sin\bigl(\tfrac{6\pi}{5}\bigr) =-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) =-\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}.

Resposta

As extremidades do arco \tfrac{6\pi}{5} são
(1,0) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{\sqrt5+1}{4}\,,\,-\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}\Bigr).

Exercícios relacionados