\lim _{x \rightarrow 0} x \csc x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0} x\,\csc x
O conteúdo é limite de função que se apresenta na forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar definição de \csc x e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a expressão usando \csc x = 1/\sin x:
x\,\csc x = \frac{x}{\sin x}.
Ao fazer x\to0, o numerador tende a 0 e o denominador também tende a \sin0=0, ou seja, temos forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Quando um limite dá \tfrac{0}{0}, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} =\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{d}{dx}(x)}{\tfrac{d}{dx}(\sin x)} =\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite direto:
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x} =\frac{1}{\cos0} =\frac{1}{1} =1.

Resposta

1

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