Indique o domínio da função f definida por
f(x)=1ln (x+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para a gente encontrar o domínio da função f(x) = 1ln(x + 3) . O domínio é basicamente todos os valores de x que fazem a função funcionar direitinho, sem dar erro. Para isso, vamos usar um pouco de lógica matemática e entender como a função logarítmica e as frações funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural ln(y) só existe se o que está dentro dele for positivo. Ou seja, para ln(x + 3) ser válido, precisamos que x + 3 > 0 .

Passo 3

Então, resolvendo essa desigualdade:
x + 3 > 0 implies x > -3
Isso significa que x tem que ser maior que -3 para que o logaritmo exista.

Passo 4

Mas não é só isso! Na nossa função f(x) = 1ln(x + 3) , o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida na matemática. Então, precisamos garantir que ln(x + 3) neq 0 .

Passo 5

Vamos resolver quando o logaritmo é igual a zero:
ln(x + 3) = 0
Sabemos que ln(1) = 0 , então:
x + 3 = 1 implies x = -2
Portanto, x não pode ser igual a -2.

Passo 6

Juntando todas as condições que encontramos:
  1. x > -3 (para o logaritmo existir)
  2. x neq -2 (para não ter divisão por zero)
Isso significa que o domínio da função são todos os números maiores que -3, exceto -2.

Resposta

O domínio da função f(x) = 1ln(x + 3) é:
boxed, (-3, -2) cup (-2, +infty) ,

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