Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de 9. Isso é um exercício de cálculo envolvendo limites, especialmente lidando com formas indeterminadas que aparecem quando substituímos diretamente o valor.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
na função para ver o que acontece:
- Numerador:
- Denominador:
Aí deu
, que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é
:
No numerador, usando a identidade
, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos simplificar mais. Observe que
pode ser fatorado como
. Assim, a expressão fica:
Agora, note que
. Substituindo isso, temos:
As partes
e
se cancelam, simplificando bastante a expressão.
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada
, já podemos substituir
:
Resposta
O limite é
.