Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
lim x 9 3-raizx9 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função 3 - raizx9x - x^2 quando x se aproxima de 9. Isso é um exercício de cálculo envolvendo limites, especialmente lidando com formas indeterminadas que aparecem quando substituímos diretamente o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 9 na função para ver o que acontece:
  • Numerador: 3 - raiz9 = 3 - 3 = 0
  • Denominador: 9 times 9 - 9^2 = 81 - 81 = 0
Aí deu 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é 3 + raizx:
3 - raizx9x - x^2 times 3 + raizx3 + raizx = (3 - raizx)(3 + raizx)(9x - x^2)(3 + raizx)
No numerador, usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2, temos:
(3 - raizx)(3 + raizx) = 9 - x
Então, a expressão fica:
9 - x(9x - x^2)(3 + raizx)

Passo 4

Vamos simplificar mais. Observe que 9x - x^2 pode ser fatorado como x(9 - x). Assim, a expressão fica:
9 - xx(9 - x)(3 + raizx)
Agora, note que 9 - x = -(x - 9). Substituindo isso, temos:
-(x - 9)x cdot ( - (x - 9)) cdot (3 + raizx) = 1x(3 + raizx)
As partes -(x - 9) e - (x - 9) se cancelam, simplificando bastante a expressão.

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada 1x(3 + raizx), já podemos substituir x = 9:
19(3 + raiz9) = 19(3 + 3) = 19 times 6 = 154

Resposta

O limite é 154.

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