Indique uma equação diferencial cujo integral geral é a família de curvas indicada:
(retas do plano não verticais que passam pela origem);
Passo 1
Então, o enunciado está pedindo para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja a família de retas $ y = Cx $, onde $ C $ é qualquer número real. Essas retas são não verticais e passam pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação $ y = Cx $ representa uma reta com inclinação (coeficiente angular) igual a $ C $. A inclinação de uma reta é dada pela derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ para a equação dada:
Então, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ é igual a $ C $.
Passo 4
Observando a equação original $ y = Cx $, podemos resolver para $ C $:
Substituindo isso na expressão da derivada, temos:
Passo 5
Portanto, a equação diferencial que relaciona $ y $, $ x $ e a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Resposta
A equação diferencial desejada é: