Indique uma equação diferencial cujo integral geral é a família de curvas indicada:
y=C x, C in R (retas do plano não verticais que passam pela origem);

Passo 1

Então, o enunciado está pedindo para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja a família de retas $ y = Cx $, onde $ C $ é qualquer número real. Essas retas são não verticais e passam pela origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação $ y = Cx $ representa uma reta com inclinação (coeficiente angular) igual a $ C $. A inclinação de uma reta é dada pela derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ para a equação dada:
y
Então, a derivada $ \frac{dy}{dx} $ é igual a $ C $.

Passo 4

Observando a equação original $ y = Cx $, podemos resolver para $ C $:
y = Cx
Substituindo isso na expressão da derivada, temos:
C

Passo 5

Portanto, a equação diferencial que relaciona $ y $, $ x $ e a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

Resposta

A equação diferencial desejada é:
dydx = yx

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