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Determine se y define ou função implícita de x
y^3 x^2+4 x^3+y^2+4 x^2 y^2=0

Passo 1

A equação dada é uma relação implícita entre x e y, que podemos escrever como
F(x,y)=x2y3+4x3+y2+4x2y2=0
O conteúdo aqui é o Teorema da Função Implícita: se em um ponto (x₀,y₀) solução temos ∂F/∂y≠0, então existe vizinhança em que y pode ser escrita como função diferenciável de x.

Passo 2

Para aplicar o teorema, calculemos a derivada parcial de F em relação a y:
partial Fpartial y=3x^2y^2+2y+8x^2y
Podemos fatorar:
partial Fpartial y=yl(3x^2y+2+8x^2r)

Passo 3

Agora determinamos onde essa derivada se anula: temos duas possibilidades:
  1. y=0, que inserida em F=0 leva a 4x^3=0, ou seja x=0, ponto (0,0).
  2. 3x2y+2+8x2=0 dá y=−(2+8x2)/(3x2), mas substituindo em F=0 não surgem soluções reais além de (0,0).
Logo, ∂F/∂y=0 apenas em (0,0).

Passo 4

Pelo Teorema da Função Implícita, em qualquer ponto solução (x₀,y₀)≠(0,0) temos ∂F/∂y(x₀,y₀)≠0, e portanto existe uma função y(x) que satisfaz a equação em torno desse ponto.

Resposta

A relação define implicitamente y como função de x em toda vizinhança de cada ponto solução (x₀,y₀) diferente de (0,0). No ponto (0,0) não vale ∂F/∂y≠0, logo ali o teorema não se aplica.

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