Indique uma equação diferencial cujo integral geral é a família de curvas indicada:
y=e^C x, C in R.

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral seja a família de curvas y=e^Cx. O conteúdo envolve EDOs e vamos precisar eliminar a constante C relacionando y e y'.

Passo 2

Começo aplicando logaritmo natural em ambos os lados para isolar C. Como y=e^Cx, temos ln y = C,x.
Da expressão ln y = C,x, isolamos C:
C = ln yx

Passo 3

Agora diferenciamos a solução y=e^Cx em relação a x. Como C é constante, obtemos y' = C,e^Cx = C,y.
Substituindo C=ln yx em y' = C,y resulta em:
y' = ln yx,y

Passo 4

Reescrevendo em forma de equação diferencial em termos de y e y', chegamos a:
x,y' - y,ln y = 0

Resposta

A equação diferencial cuja integral geral é y=e^Cx é
x,y' - y,ln y = 0

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