Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo é limites no infinito envolvendo radicais e a técnica que vamos usar é a racionalização da diferença.
Passo 2
Para racionalizar, multiplicamos e dividimos pela conjugada
. Assim,
$$
a = \sqrt{x6+x3+1}-x^3 = \frac{(\sqrt{x6+x3+1}-x3)(\sqrt{x6+x3+1}+x3)}{\sqrt{x6+x3+1}+x^3}
$$
Passo 3
No numerador temos diferença de quadrados, que simplifica assim:
Logo a expressão vira
Passo 4
Para avaliar o limite quando
, dividimos numerador e denominador por
, o termo dominante:
Passo 5
Agora note que quando
os termos
e
vão a zero, então o numerador tende a 1 e o denominador tende a
. Portanto o limite existe.