Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não exista, justifique.
lim x infty raizx^6+x^3+1-x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyl(raizx^6+x^3+1-x^3r). O conteúdo é limites no infinito envolvendo radicais e a técnica que vamos usar é a racionalização da diferença.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos e dividimos pela conjugada raizx^6+x^3+1+x^3. Assim,
$$
a = \sqrt{x6+x3+1}-x^3 = \frac{(\sqrt{x6+x3+1}-x3)(\sqrt{x6+x3+1}+x3)}{\sqrt{x6+x3+1}+x^3}
$$

Passo 3

No numerador temos diferença de quadrados, que simplifica assim:
(raizx^6+x^3+1)^2 - (x^3)^2 = x^6 + x^3 + 1 - x^6 = x^3 + 1
Logo a expressão vira
x^3 + 1raizx^6 + x^3 + 1 + x^3

Passo 4

Para avaliar o limite quando xtoinfty, dividimos numerador e denominador por x^3, o termo dominante:
x^3 + 1raizx^6 + x^3 + 1 + x^3 = x^3 + 1x^3raizx^6 + x^3 + 1x^3 + x^3x^3 = 1 + 1x^3raiz1 + 1x^3 + 1x^6 + 1

Passo 5

Agora note que quando xtoinfty os termos 1/x^3 e 1/x^6 vão a zero, então o numerador tende a 1 e o denominador tende a raiz1+1 = 2. Portanto o limite existe.

Resposta

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