Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a substituição apropriada. Note que os termos
,
e
têm o mesmo grau (2), e o termo
em
também é de grau 2. Portanto a equação é homogênea de grau 2 e podemos usar
onde
é função de
.
Passo 2
Com
temos
Substituindo em
obtemos
Isso simplifica para
ou
Passo 3
Reescrevendo para separar variáveis
e
, dividimos tudo por
:
Passo 4
Agora integramos dos dois lados:
Para o lado direito, note que
e fazemos frações parciais:
Logo
E do lado esquerdo
. Igualando e reunindo constantes:
Multiplicando por 6 e exponenciando, chega-se a
Passo 5
Voltando à variável original
, temos
então
Essa é a solução implícita geral.
Resposta
onde
é constante arbitrária.