Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(x^2+x y-y^2) d x-x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x^2+x y - y^2r),dx ;-; x y,dy = 0
usando a substituição apropriada. Note que os termos x^2, x y e y^2 têm o mesmo grau (2), e o termo x y em N(x,y)=-xy também é de grau 2. Portanto a equação é homogênea de grau 2 e podemos usar
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y = v x temos
dy = v,dx + x,dv
Substituindo em
(x^2+x y - y^2),dx - x y,dy = 0
obtemos
l(x^2+x,(v x) - (v x)^2r)dx ;-; x,(v x),(v,dx + x,dv)=0
Isso simplifica para
x^2(1+v-v^2),dx ;-;x^2v^2,dx ;-;x^3v,dv = 0
ou
x^2l(1+v-2v^2r),dx ;-; x^3v,dv = 0

Passo 3

Reescrevendo para separar variáveis x e v, dividimos tudo por x^2:
l(1+v-2v^2r),dx ;-; x,v,dv = 0 Longrightarrow dxx = v,dv,1+v-2v^2,

Passo 4

Agora integramos dos dois lados:
integral dxx = integral v,dv1+v-2v^2
Para o lado direito, note que
1+v-2v^2 = -(2v+1)(v-1),
e fazemos frações parciais:
v(2v+1)(v-1) = 1/32v+1 + 1/3v-1
Logo
integral v,dv1+v-2v^2 = -13integral!l(12v+1+1v-1r)dv = -16lnlvert2v+1rvert -13lnlvert v-1rvert + C
E do lado esquerdo integral dx/x = lnlvert xrvert + C'. Igualando e reunindo constantes:
lnlvert xrvert = -tfrac16lnlvert2v+1rvert -tfrac13lnlvert v-1rvert + C
Multiplicando por 6 e exponenciando, chega-se a
x^6,(2v+1),(v-1)^2 = tilde C

Passo 5

Voltando à variável original v = y/x, temos
2v+1 = 2y+xx, (v-1)^2 = (y-x)^2x^2,
então
x^6,2y+xx,(y-x)^2x^2 = x^3,(2y+x),(y-x)^2 = tilde C
Essa é a solução implícita geral.

Resposta

x^3,(2y+x),(y-x)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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