Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=2 e^2 t-3 t^3

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+5y = 2e^2t-3t^3
e pede apenas o formato (ansatz) da solução particular, sem calcular as constantes. O método aqui é o dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução homogênea para verificar possíveis ressonâncias. A equação característica é
r^2-4r+5=0
cuja solução é
r=2pm i
Logo
yh(t)=e^2tl(C1cos t + C2sin tr)
Observe que r=2 e r=0 não são raízes da característica, então não há ressonância com os termos e^2t nem com polinômios em t.

Passo 3

Em razão disso, para o termo 2e^2t escolhemos
yp1(t)=A,e^2t,
e para o termo -3t^3, sendo um polinômio de grau 3 sem ressonância, escolhemos
yp2(t)=B,t^3 + C,t^2 + D,t + E
A solução particular geral é
yp(t)=yp1(t)+yp2(t)

Resposta

Para 2e^2t:
yp1(t)=A,e^2t
Para -3t^3:
yp2(t)=B,t^3 + C,t^2 + D,t + E

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