Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-3 y^prime=e^3 t sen 3 t-2 t e^3 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' = e^3tsin 3t ;-; 2t,e^3t
e pede apenas o formato adequado da solução particular, sem calcular as constantes. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, decompondo o termo não homogêneo em dois: e^3tsin3t e -2t,e^3t.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea associada. A equação característica é
r^2-3r = 0Longrightarrow r=0,;r=3,
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yh(t) = C1 + C2,e^3t
Note que e^3t aparece na homogênea, mas e^3tsin3t não. Portanto, para o termo e^3tsin3t usamos o ansatz padrão
yp1(t) = e^3tl(Acos3t + Bsin3tr),
sem multiplicar por potências extras de t, pois não há coincidência com yh.

Passo 3

Agora tratamos o segundo termo -2t,e^3t. É da forma polinômio de grau 1 vezes e^3t. Como r=3 é raiz simples da característica, multiplicamos por t uma vez. Se o polinômio for a t + b, o ansatz fica
yp2(t) = t,e^3tl(C,t + Dr) = e^3tl(C,t^2 + D,tr)

Passo 4

Juntando os dois formatos de solução particular, o ansatz completo é
yp(t) = e^3tl(Acos3t + Bsin3tr) ;+;e^3tl(C,t^2 + D,tr)

Resposta

yp(t) = e^3tl(Acos3t + Bsin3tr) + e^3tl(C,t^2 + D,tr)

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