Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=sen t-cos t

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = sin t - cos t
e pede apenas o formato da solução particular, sem calcular as constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em propor uma forma para yp(t) baseada no tipo de forçamento à direita.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução homogênea. A equação característica é
r^2 - 4r + 5 = 0
com raízes
r = 2 pm i
Logo
yh(t) = e^2tl(C1cos t + C2sin tr)
O forçamento é da forma sin t e cos t, isto é, e^0cdot tsin t e e^0cdot tcos t. As raízes associadas a esse forçamento seriam r=0pm i, que não coincidem com 2pm i. Portanto não há ressonância e podemos usar o formato padrão.

Passo 3

Para um forçamento sin t ou cos t sem ressonância, o formato da solução particular é
yp(t) = Acos t + Bsin t,
onde A e B são constantes a determinar depois.

Resposta

O formato adequado para a solução particular é
yp(t) = Acos t + Bsin t

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