Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=e^-t+t sen t

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = e^-t + tsin t
e pede apenas o formato adequado do palpite de solução particular, sem calcular as constantes. Usaremos o método dos coeficientes a determinar, separando as contribuições de cada termo do lado direito.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 - 4r + 5 = 0
cujo discriminante é 16 - 20 = -4, de modo que as raízes são
r = 2 pm i
Como alpha = -1 (para e^-t) e alpha = 0 (para sin t) não coincidem com a parte real 2 das raízes, não há ressonância em nenhum dos dois casos; assim, o fator adicional t^s aparece com s = 0.

Passo 3

Para o termo
f1(t)=e^-t,
como -1 não é raiz da característica, o palpite padrão é
yp1(t)=A,e^-t

Passo 4

Para o termo
f2(t)=tsin t,
temos um polinômio de grau 1 multiplicando sin t. Em ausência de ressonância, o palpite genérico é
yp2(t) = (B,t + C)cos t ;+;(D,t + E)sin t

Passo 5

Somando as duas partes, a forma completa do palpite da solução particular fica
yp(t) = A,e^-t ;+;(B,t + C)cos t ;+;(D,t + E)sin t

Resposta

Para cada parte da EDO, o formato do palpite é:
yp1(t)=A,e^-t,
yp2(t)=(B,t + C)cos t + (D,t + E)sin t,
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yp(t)=A,e^-t+(B,t + C)cos t+(D,t + E)sin t

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