Indique o formato adequado para se buscar a solução particular em cada caso, sem determinar o valor das constantes.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=t e^2 t cos t

Passo 1

O enunciado pede a forma de um ansatz para a solução particular da EDO
y'' - 4y' + 5y = t,e^2tcos t
usando o método dos coeficientes indeterminados, sem encontrar de fato as constantes.

Passo 2

Determinamos primeiro a solução da homogênea associada. A equação característica é
r^2 - 4r + 5 = 0
cuja solução é
r = 2 pm i
Isso mostra que a homogênea gera as funções e^2tcos t e e^2tsin t.

Passo 3

Como o termo forçante é t,e^2tcos t, que já contém fatores e^2tcos t da solução homogênea, multiplicamos o ansatz por t para remover a ressonância. Além disso, há um polinômio de grau 1 em t. Logo, o formato adequado para a solução particular é
yp(t) = t,e^2tl((A,t + B)cos t + (C,t + D)sin tr),
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Resposta

yp(t) = t,e^2tl((A,t + B)cos t + (C,t + D)sin tr)

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