Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
c) () Se \left|a_{n}\right| \rightarrow L então a_{n} é convergente

Passo 1

O enunciado pergunta sobre sequências reais: “Se \left|a_{n}\right| \to L, então a_{n} é convergente.” O conteúdo aqui é limites de sequências e propriedades da convergência.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta encontrar uma sequência (a_{n}) cuja sequência de valores absolutos converge, mas que em si não converge. Considere
a_{n} = (-1)^{n}.
Então para todo n, \lvert a_{n}\rvert = 1, logo
\lvert a_{n}\rvert \longrightarrow 1.
Porém a_{n} oscila entre -1 e 1 e não tem limite. Assim \lvert a_{n}\rvert\to1 mas a_{n} não converge.

Resposta

A frase é falsa. Um contraexemplo é a_{n}=(-1)^{n}, pois \lvert a_{n}\rvert\to1 mas a_{n} não converge.

Exercícios relacionados