Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de
e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência
tal que
e
para
.
a) Seja a sequência
Passo 1
O enunciado define uma sequência
por
O objetivo é (1) calcular os sete primeiros termos, (2) conjecturar uma fórmula geral para
e (3) confirmar essa fórmula via indução finita.
Passo 2
Usando a relação
, calculamos
Passo 3
Observando os denominadores, vemos que eles são exatamente
. Logo o palpite natural é
Passo 4
Prova por indução em
:
Base
:
e
, logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que para um dado
valha
Pelo enunciado,
Assim a fórmula vale para
, completando o passo indutivo. Por indução,