Para as sequências abaixo, calcule os 7 primeiros termos, deduza qual a expressão geral de a_{n} e então confirme seu palpite usando o Método da Indução Finita.
a) Seja a sequência \left(a_{n}\right) tal que a_{0}=1 e n a_{n}=a_{n-1} para n \geq 1.

Passo 1

O enunciado define uma sequência (a_n) por
a_0 = 1,\qquad n\,a_n = a_{n-1}\quad(n\ge1).
O objetivo é (1) calcular os sete primeiros termos, (2) conjecturar uma fórmula geral para a_n e (3) confirmar essa fórmula via indução finita.

Passo 2

Usando a relação a_n = a_{n-1}/n, calculamos
a_0 = 1,\quad a_1 = \frac{a_0}{1} = 1,\quad a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac12,\quad a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac16,
a_4 = \frac{a_3}{4} = \frac1{24},\quad a_5 = \frac{a_4}{5} = \frac1{120},\quad a_6 = \frac{a_5}{6} = \frac1{720}.

Passo 3

Observando os denominadores, vemos que eles são exatamente n!. Logo o palpite natural é
a_n = \frac{1}{n!}\quad\text{para todo }n\ge0.

Passo 4

Prova por indução em n:
Base n=0: a_0 = 1 e 1/0! = 1, logo vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que para um dado n\ge1 valha
a_{n-1} = \frac{1}{(n-1)!}.
Pelo enunciado,
a_n = \frac{a_{n-1}}{n} = \frac{1/(n-1)!}{n} = \frac{1}{n!}.
Assim a fórmula vale para n, completando o passo indutivo. Por indução,
a_n = \frac{1}{n!}\quad\forall n\ge0.

Resposta

a_n = \dfrac{1}{n!}.

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