Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
b) ( ) Toda sequência ilimitada é tal que
ou
.
b) ( ) Toda sequência ilimitada é tal que
Passo 1
O enunciado afirma que “toda sequência ilimitada é tal que
ou
”. O conteúdo envolve a definição de sequência ilimitada e o conceito de divergência para
ou
.
Passo 2
Vamos lembrar as definições:
– Sequência ilimitada significa que, para todo , existe
tal que
.
– Dizer que é exigir que, para todo
, exista
tal que, sempre que
,
.
– De modo análogo, exige que, para todo
, exista
tal que, para
,
.
Divergir simplesmente ficando “sem limite” (ilimitada) é menos restritivo do que perseguir exclusivamente um dos dois sentidos infinitos.
– Sequência ilimitada significa que, para todo
– Dizer que
– De modo análogo,
Divergir simplesmente ficando “sem limite” (ilimitada) é menos restritivo do que perseguir exclusivamente um dos dois sentidos infinitos.
Passo 3
Um contra-exemplo clássico é
Aqui
, logo a sequência é ilimitada. Mas não temos
, pois nos índices ímpares
; e não temos
, pois nos índices pares
. Dessa forma, ela não converge para nenhum dos dois infinitos.
Passo 4
Como encontramos uma sequência ilimitada que não diverge exclusivamente para
nem para
, a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo:
.