Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
b) ( ) Toda sequência ilimitada é tal que a_{n} \rightarrow \infty ou a_{n} \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado afirma que “toda sequência ilimitada é tal que \,a_{n}\to\infty ou \,a_{n}\to -\infty”. O conteúdo envolve a definição de sequência ilimitada e o conceito de divergência para +\infty ou -\infty.

Passo 2

Vamos lembrar as definições:
– Sequência ilimitada significa que, para todo M>0, existe n tal que \lvert a_{n}\rvert > M.
– Dizer que a_{n}\to\infty é exigir que, para todo M>0, exista N tal que, sempre que n>N, a_{n}>M.
– De modo análogo, a_{n}\to -\infty exige que, para todo M>0, exista N tal que, para n>N, a_{n}<-M.
Divergir simplesmente ficando “sem limite” (ilimitada) é menos restritivo do que perseguir exclusivamente um dos dois sentidos infinitos.

Passo 3

Um contra-exemplo clássico é
a_{n}=(-1)^{n}\,n.
Aqui \lvert a_{n}\rvert = n\to\infty, logo a sequência é ilimitada. Mas não temos a_{n}\to\infty, pois nos índices ímpares a_{n}=-n\to-\infty; e não temos a_{n}\to -\infty, pois nos índices pares a_{n}=+n\to+\infty. Dessa forma, ela não converge para nenhum dos dois infinitos.

Passo 4

Como encontramos uma sequência ilimitada que não diverge exclusivamente para +\infty nem para -\infty, a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: a_{n}=(-1)^{n}n.

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