Represente o conjunto dos pontos de coordenadas polares (r, theta) tais que:
(a) 1;
(b) r=3;
© theta=pi / 3, r>0;
(d) pi / 4 <= theta <= 4 pi / 3, r>0.

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano os pontos cujas coordenadas polares (r,theta) satisfazem certas condições sobre r e theta. O conteúdo envolve interpretação geométrica em coordenadas polares e vamos precisar usar a definição de r como distância ao origem e de theta como ângulo.

Passo 2

Em coordenadas polares cada ponto P tem coordenadas (r,theta), com r>=0 sendo a distância ao eixo e theta o ângulo a partir do eixo x positivo. A relação com as coordenadas cartesianas é x=rcostheta e y=rsintheta. Assim, condições em r definem círculos ou regiões circulares concêntricas, e condições em theta definem setores angulares ou raios.

Passo 3

Para (a) 1: isso significa que a distância do ponto à origem está entre 1 e 2, excluindo 1 e incluindo 2. Geometricamente é uma coroa circular (anel) com raio interno 1 (aberto) e externo 2 (fechado).

Passo 4

Para (b) r=3: todos os pontos cuja distância ao origem é exatamente 3. Geometricamente é a circunferência de raio 3 centrada na origem.

Passo 5

Para © theta=pi/3 e r>0: o ângulo é fixo em pi/3 e a distância pode variar positivamente. É a semirreta que parte da origem com inclinação pi/3 (em relação ao eixo x positivo).

Passo 6

Para (d) pi/4<=theta<=4pi/3 e r>0: o ângulo varia entre pi/4 e 4pi/3 e a distância é livre. Geometricamente é um setor angular de vértice na origem, com bordas em ângulos pi/4 e 4pi/3, estendendo-se radialmente ao infinito.

Resposta

(a) Coroa circular (anel) centrada na origem com raio interno 1 (aberto) e externo 2 (fechado).
(b) Circunferência de raio 3 centrada na origem.
© Semirreta que parte da origem no ângulo pi/3 (em relação ao eixo x positivo).
(d) Setor angular de vértice na origem, limitado pelos raios em theta=pi/4 e theta=4pi/3, estendendo-se radialmente para r>0.

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