Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço
e, no caso de ser finito, exibir uma base. O conteúdo envolvido é: subespaços definidos por equações lineares, teoria do núcleo de uma aplicação linear e o Teorema do Dimensão Núcleo
Imagem.
e, no caso de ser finito, exibir uma base. O conteúdo envolvido é: subespaços definidos por equações lineares, teoria do núcleo de uma aplicação linear e o Teorema do Dimensão
Passo 2
Definimos a aplicação linear
O conjunto dado é exatamente
. Como
é não nula,
. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
Passo 3
Logo
Para descrever uma base, note que em
temos
e as coordenadas
são livres. Assim todo vetor
em
pode ser escrito como combinação linear:
Resposta
Uma base é, por exemplo,