Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
(x1, ldots, xn) in R^n: x1+x2=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
(x1,dots,xn)inR^n:x1+x2=0
e, no caso de ser finito, exibir uma base. O conteúdo envolvido é: subespaços definidos por equações lineares, teoria do núcleo de uma aplicação linear e o Teorema do Dimensão = Núcleo + Imagem.

Passo 2

Definimos a aplicação linear
f:R^ntoR, f(x1,x2,dots,xn)=x1+x2
O conjunto dado é exatamente ker f. Como f é não nula, dimImf=1. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dimR^n=dimker f+dimImf Longrightarrow n=dimker f+1

Passo 3

Logo
dimker f=n-1
Para descrever uma base, note que em ker f temos x1=-,x2 e as coordenadas x2,x3,dots,xn são livres. Assim todo vetor (x1,dots,xn) em ker f pode ser escrito como combinação linear:
(x1,dots,xn) =x2(-1,1,0,dots,0) +x3(0,0,1,0,dots,0) +cdots +xn(0,dots,0,1)

Resposta

dim(x1,dots,xn):x1+x2=0=n-1
Uma base é, por exemplo,
,(-1,1,0,0,dots,0),;(0,0,1,0,dots,0),;dots,;(0,0,0,dots,1)

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