Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço das matrizes 2 times 2,
[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 1 & 1 0 & 0 ],[ll 1 & 1 1 & 0 ],[ll 1 & 1 1 & 1 ],[ll 4 & 3 2 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá cinco matrizes em M2times2(R), que é um espaço vetorial de dimensão 4, e pede para determinar se elas são linearmente independentes. Para isso vamos usar a definição de dependência linear: verificar se existe combinação não trivial
c1A1 + c2A2 + c3A3 + c4A4 + c5A5 = 0
com alguma constante cineq0. Aqui
A1=1&00&0,; A2=1&10&0,; A3=1&11&0,; A4=1&11&1,; A5=4&32&1

Passo 2

Escrevendo c1A1+cdots+c5A5=0 e igualando cada entrada à matriz zero, obtemos o sistema
c1+c2+c3+c4+4c5 = 0, c2+c3+c4+3c5 = 0, c3+c4+2c5 = 0, c4+c5 = 0

Passo 3

Resolvendo de baixo para cima:
da quarta equação c4 + c5=0 vem
c4 = -c5
Substituindo na terceira, c3 +(-c5)+2c5=0
c3 + c5 = 0;Rightarrow;c3 = -c5
Na segunda, c2 +(-c5)+(-c5)+3c5=0 leva a
c2 + c5 = 0;Rightarrow;c2 = -c5
Na primeira, c1+(-c5)+(-c5)+(-c5)+4c5=0 implica
c1 + c5 = 0;Rightarrow;c1 = -c5

Passo 4

O sistema admite a família de soluções não-trivial
(c1,c2,c3,c4,c5)=(-t,-t,-t,t,t), tinR,
logo há dependência linear. Tomando t=1 vemos a relação
-,A1 -A2 -A3 +A4 +A5 = 0 ;Longrightarrow; A5 = A1 + A2 + A3 - A4
Isso mostra que A5 é combinação dos quatro primeiros.
Para verificar que A1,A2,A3,A4 é independente, nota-se que em
d1A1 + d2A2 + d3A3 + d4A4 = 0
as quatro equações obtidas (análogo ao sistema acima, mas sem c5) forçam d4=0, depois d3=0, d2=0, d1=0.

Resposta

O conjunto original é linearmente dependente.
Um subconjunto máximo independente é
A1,A2,A3,A4.
E
A5 = A1 + A2 + A3 - A4

Exercícios relacionados