Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
(x, y, z) in R^3: x-z=0 wed>= x-y=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de R^3 definido pelas equações
x - y = 0 e x - z = 0
Ou seja, temos um sistema de duas equações lineares; precisamos resolver esse sistema para encontrar a descrição paramétrica do subespaço, determinar quantos graus de liberdade ele tem (a dimensão) e, no caso de dimensão finita, exibir uma base.

Passo 2

Escrevendo o sistema explicitamente:
x - y = 0, x - z = 0
Da primeira equação vem y = x e da segunda vem z = x.

Passo 3

Substituindo y=x e z=x, qualquer vetor (x,y,z) do subespaço é da forma
(x,y,z) = (x,x,x) = x,(1,1,1)
Portanto, o subespaço é precisamente ,x(1,1,1)colon xinR.

Passo 4

Na forma paramétrica (x,x,x), vemos que há apenas um parâmetro livre ( x). Logo o subespaço é de dimensão 1.

Passo 5

Como ele é gerado por um único vetor não-nulo, uma base é simplesmente
(1,1,1)

Resposta

Dimensão =1.
Uma base é (1,1,1).

Exercícios relacionados