Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço de
definido pelas equações
Ou seja, temos um sistema de duas equações lineares; precisamos resolver esse sistema para encontrar a descrição paramétrica do subespaço, determinar quantos graus de liberdade ele tem (a dimensão) e, no caso de dimensão finita, exibir uma base.
Passo 2
Escrevendo o sistema explicitamente:
Da primeira equação vem
e da segunda vem
.
Passo 3
Substituindo
e
, qualquer vetor
do subespaço é da forma
Portanto, o subespaço é precisamente
.
Passo 4
Na forma paramétrica
, vemos que há apenas um parâmetro livre (
). Logo o subespaço é de dimensão
.
Passo 5
Como ele é gerado por um único vetor não-nulo, uma base é simplesmente
Resposta
Dimensão
.
Uma base é .
Uma base é