Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
(x, y, z) in R^3: x-z=0 wed>= x-y=0 wed>= y-z=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
S = (x,y,z)inR^3 mid x - z = 0 ;wed>=; x - y = 0 ;wed>=; y - z = 0
O conteúdo aqui é achar o núcleo de um sistema homogêneo de equações lineares em R^3.

Passo 2

Escrevemos o sistema homogêneo associado:
x - y = 0, x - z = 0, y - z = 0
Note que se x=y e x=z então necessariamente y=z, de modo que apenas duas dessas equações são independentes.

Passo 3

Das duas equações independentes, por exemplo
x - y = 0Longrightarrow x = y,
x - z = 0Longrightarrow x = z,
segue x = y = z. Logo todo vetor de S tem a forma
(x,y,z) = (t,t,t) = t,(1,1,1), tinR

Passo 4

Como qualquer vetor de S é múltiplo de (1,1,1), temos
S = span(1,1,1)
Pelo Teorema da Dimensão, dim S = 1, e uma base conveniente é (1,1,1).

Resposta

A dimensão de S é 1 e uma base é (1,1,1).

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