Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
O conteúdo aqui é achar o núcleo de um sistema homogêneo de equações lineares em
.
Passo 2
Escrevemos o sistema homogêneo associado:
Note que se
x=y e
x=z então necessariamente
y=z , de modo que apenas duas dessas equações são independentes.
Passo 3
Das duas equações independentes, por exemplo
segue
x = y = z . Logo todo vetor de
S tem a forma
Passo 4
Como qualquer vetor de
S é múltiplo de
(1,1,1) , temos
Pelo Teorema da Dimensão,
dim S = 1 , e uma base conveniente é
(1,1,1) .
Resposta
A dimensão de
S é
1 e uma base é
(1,1,1) .