Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
(x, y, z, w) in R^4: x+y+z=0 wed>= x-2 w=0 wed>= y-z=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e, se for finita, uma base do subespaço de R^4 definido pelas equações lineares
x+y+z=0, x-2w=0, y-z=0
O conteúdo necessário é resolver esse sistema homogêneo e identificar o número de graus de liberdade (dimensão) e uma família geradora mínima (base).

Passo 2

Reescrevamos as equações de modo a isolar variáveis sempre que possível:
Da segunda equação
x-2w=0Longrightarrow x=2w
Da terceira equação
y-z=0Longrightarrow y=z

Passo 3

Substituímos x=2w e y=z na primeira equação:
x+y+z=0 Longrightarrow 2w + z + z = 0 Longrightarrow 2w + 2z = 0 Longrightarrow w+z=0 Longrightarrow z=-w

Passo 4

Agora temos
x=2w, y=z=-w, z=-w, w=w
Tomando w como parâmetro livre, winR, o vetor geral do espaço é
(x,y,z,w) = l(2w,,-w,,-w,,wr) = w,(2,,-1,,-1,,1)

Passo 5

Como toda solução é múltiplo de (2,-1,-1,1), o espaço é gerado por esse único vetor. Logo a dimensão é o número de parâmetros livres, que é 1, e uma base é (2,-1,-1,1).

Resposta

A dimensão do espaço é 1 e uma base é
(2,,-1,,-1,,1)

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