Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
M in M2 times 2: m11+m22=0 wed>= m12-m21=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço de M2times 2(R) definido pelas duas condições lineares
m11+m22=0 e m12-m21=0
Conteúdo: espaços vetoriais finitos, restrições lineares e cálculo de dimensão pela resolução das equações e identificação de base.

Passo 2

Represntemos uma matriz genérica
M= a & b c & d ,
com a,b,c,dinR. As condições do enunciado impõem
a+d=0, b-c=0

Passo 3

Das equações extraímos as relações
d=-a, c=b
Logo todo M do subespaço pode ser escrito como
M= a & b b & -a

Passo 4

Observe que
a & b b & -a = a1&00&-1 + b0&11&0
Portanto o espaço é gerado pelos dois matrizes acima, que são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2.
Uma base conveniente é
1&00&-1, ;; 0&11&0

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