Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
A in M3 times 3: A=-A^t

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
S = AinM3times3(R) : A=-A^t
e, quando essa dimensão for finita, que indiquemos uma base. O assunto é espaço vetorial de matrizes, subespaço, base e dimensão.

Passo 2

Para todo A=(aij)in S vale aij = -aji. Em particular, na diagonal temos aii=-aii, logo
a11=a22=a33=0
Nos outros postos, escolhemos três parâmetros livres:
a12=a, a13=b, a23=c,
e então
A = 0 & a & b [6pt] -a & 0 & c [6pt] -b & -c & 0 ,
com a,b,cinR.]

Passo 3

Como cada matriz é determinado pelos três escalares a,b,c de forma independente, o espaço S tem exatamente três graus de liberdade. Portanto
dim S = 3

Passo 4

Para obter uma base, basta escolher cada vez um único parâmetro igual a 1 e os outros 0. Definimos
E^(12) = 0 & 1 & 0 [4pt] -1 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 0 , E^(13) = 0 & 0 & 1 [4pt] 0 & 0 & 0 [4pt] -1 & 0 & 0 , E^(23) = 0 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 1 [4pt] 0 & -1 & 0
Esses três matrizes são linearmente independentes e geram S.]

Resposta

dim S = 3.
Uma base é
,E^(12),,E^(13),,E^(23)

Exercícios relacionados