Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço
e, quando essa dimensão for finita, que indiquemos uma base. O assunto é espaço vetorial de matrizes, subespaço, base e dimensão.
Passo 2
Para todo vale . Em particular, na diagonal temos , logo
Nos outros postos, escolhemos três parâmetros livres:
e então
com a,b,cinR.]
Passo 3
Como cada matriz é determinado pelos três escalares a,b,c de forma independente, o espaço S tem exatamente três graus de liberdade. Portanto
dim S = 3
Passo 4
Para obter uma base, basta escolher cada vez um único parâmetro igual a 1 e os outros 0. Definimos