Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Espaço das sucessões de variável real que verificam a relação alphak=alphak-1+2 alphak-2, k=3,4, ldots

Passo 1

O enunciado define o espaço V de todas as sucessões reais alpha=(alphak)k>=1 que satisfazem a recorrência homogênea de segunda ordem
alphak=alphak-1+2alphak-2, k>=3
O conteúdo exige reconhecer que o conjunto de soluções de uma recorrência linear homogênea de ordem 2 forma um espaço vetorial de dimensão 2 e encontrar uma base.

Passo 2

Qualquer solução é determinada unicamente pelos valores iniciais alpha1 e alpha2, pois a partir deles a relação de recorrência gera alpha3,alpha4,dots. Logo, a dimensão de V é no máximo 2. Por outro lado, dados a,bin R, definir alpha1=a,alpha2=b e usar a recorrência produz uma solução em V, mostrando que a dimensão é exatamente 2.

Passo 3

Para achar a forma geral das soluções, escrevemos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0
cuja raízes são
r=2 e r=-1
Da teoria de recorrências, a solução geral é
alphak = A,2^k-1 + B,(-1)^,k-1,
com A,Bin R.

Passo 4

Como todo alphain V é combinação linear das duas sucessões
u^(1)=(2^k-1)k>=1, u^(2)=l((-1)^k-1r)k>=1,
essas duas são linearmente independentes e geram V. Portanto
dim V = 2,
e uma base conveniente é
l ,(2^k-1)k>=1,;((-1)^k-1)k>=1r

Resposta

A dimensão é 2 e uma base é
(2^k-1)k>=1,;((-1)^k-1)k>=1

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