Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Espaço das sucessões de variável real que verificam a relação
Espaço das sucessões de variável real que verificam a relação
Passo 1
O enunciado define o espaço
de todas as sucessões reais
que satisfazem a recorrência homogênea de segunda ordem
O conteúdo exige reconhecer que o conjunto de soluções de uma recorrência linear homogênea de ordem
forma um espaço vetorial de dimensão
e encontrar uma base.
Passo 2
Qualquer solução é determinada unicamente pelos valores iniciais
e
, pois a partir deles a relação de recorrência gera
. Logo, a dimensão de
é no máximo
. Por outro lado, dados
, definir
e usar a recorrência produz uma solução em
, mostrando que a dimensão é exatamente
.
Passo 3
Para achar a forma geral das soluções, escrevemos a equação característica
cuja raízes são
Da teoria de recorrências, a solução geral é
com
.
Passo 4
Como todo
é combinação linear das duas sucessões
essas duas são linearmente independentes e geram
. Portanto
e uma base conveniente é
Resposta
A dimensão é
e uma base é