Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Espaço das funções reais de variável real, contínuas, que se anulam nos inteiros

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial
V = ,f:RtoRmid f contínua e f(n)=0 forall ninZ í
O conteúdo envolvido é o de dimensão de espaço vetorial e existência (ou não) de base finita.

Passo 2

Para mostrar que V não é de dimensão finita, basta construir uma família infinita de funções em V que seja linearmente independente. Vamos definir uma “função bump” que se anule nos inteiros e deslocá-la para cada intervalo (n,n+1).

Passo 3

Defina a função
phi(x)= sin(pi x),& xin[0,1], 0,&caso contrário á
Observamos que phi é contínua em R e phi(0)=phi(1)=0, logo phiin V. Agora, para cada ninZ, definimos
phin(x)=phi(x-n)
Cada phin é contínua, se anula em todos os inteiros (pois seus únicos zeros “forçados” em R são n e n+1), e tem suporte contido em [n,n+1].

Passo 4

As funções phinninZ têm suportes disjuntos, de modo que qualquer combinação linear finita
sumk=-N^Nakphik(x)=0
implica ak=0 para todo k. Logo são linearmente independentes e formam um conjunto infinito em V. Isso mostra que dim V é infinita. Como a dimensão não é finita, não existe base com número finito de vetores.

Resposta

A dimensão do espaço é infinita, portanto não há base finita para V.

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