Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Espaço das funções reais de variável real, contínuas, que se anulam nos inteiros
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial
O conteúdo envolvido é o de dimensão de espaço vetorial e existência (ou não) de base finita.
Passo 2
Para mostrar que não é de dimensão finita, basta construir uma família infinita de funções em que seja linearmente independente. Vamos definir uma “função bump” que se anule nos inteiros e deslocá-la para cada intervalo .
Passo 3
Defina a função
Observamos que phi é contínua em R e phi(0)=phi(1)=0, logo phiin V. Agora, para cada ninZ, definimos
phin(x)=phi(x-n)
Cada phin é contínua, se anula em todos os inteiros (pois seus únicos zeros “forçados” em R são n e n+1), e tem suporte contido em [n,n+1].
Passo 4
As funções phinninZ têm suportes disjuntos, de modo que qualquer combinação linear finita sumk=-N^Nakphik(x)=0
implica ak=0 para todo k. Logo são linearmente independentes e formam um conjunto infinito em V. Isso mostra que dim V é infinita. Como a dimensão não é finita, não existe base com número finito de vetores.
Resposta
A dimensão do espaço é infinita, portanto não há base finita para V.