Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
, ou seja, das matrizes
que são antissimétricas (ou skew-symmetric). Vamos usar fatos de álgebra linear sobre subespaços, contagem de graus de liberdade e construção de uma base canônica.
Passo 2
Primeiro, note que se
então para todo
implica
Além disso, para
temos
ou seja, as entradas acima da diagonal determinam as debaixo por
.
Passo 3
Como só existem graus de liberdade nas
com
, o número de parâmetros livres é o número de pares
com
. Logo a dimensão é
Passo 4
Para construir uma base, use as matrizes canônicas
(com 1 em
e 0 no demais). Para cada par
defina
Cada
é antissimétrica e todos são linearmente independentes. Como qualquer matriz antissimétrica se escreve como combinação linear das entradas acima da diagonal,
gera todo o espaço.
Resposta
Dimensão:
.
Uma base: .
Uma base: