Indique, justificando, qual a dimensão dos seguintes espaços lineares, e, no caso de dimensão finita, indique uma base.
A in Mn n: A=-A^t

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
AinMn,n:A=-A^t, ou seja, das matrizes ntimes n que são antissimétricas (ou skew-symmetric). Vamos usar fatos de álgebra linear sobre subespaços, contagem de graus de liberdade e construção de uma base canônica.

Passo 2

Primeiro, note que se A=-A^t então para todo i
aii = -aii
implica
aii=0
Além disso, para ineq j temos
aij = -(A^t)ij = -aji,
ou seja, as entradas acima da diagonal determinam as debaixo por aji=-aij.

Passo 3

Como só existem graus de liberdade nas ;aij com i<j, o número de parâmetros livres é o número de pares (i,j) com 1<= i<j<= n. Logo a dimensão é
dim = binomn2 = n(n-1)2

Passo 4

Para construir uma base, use as matrizes canônicas ,Eij, (com 1 em (i,j) e 0 no demais). Para cada par 1<= i<j<= n defina
Bij = Eij - Eji
Cada Bij é antissimétrica e todos são linearmente independentes. Como qualquer matriz antissimétrica se escreve como combinação linear das entradas acima da diagonal, Bij:1<= i<j<= n gera todo o espaço.

Resposta

Dimensão: n(n-1)2.
Uma base: ;,Eij-Ejimid 1<= i<j<= n.

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