Indique a posição relativa e determine, caso exista, a interseção entre as gemometrias e : e
Passo 1
Temos os planos α e β definidos por
O conteúdo é posição relativa de dois planos em e, se houver interseção, determinar a reta de interseção resolvendo o sistema formados por ambas as equações. Para isso, vamos usar as definições de vetor normal e técnicas de substituição.
Passo 2
O vetor normal de um plano dado por é . Assim, para
o normal é e para
o normal é . Dois planos são paralelos ou coincidentes se os normais são proporcionais. Aqui não há constantes tais que , então os planos não são paralelos nem coincidentes, e sim se cruzam em uma reta.
Passo 3
Para encontrar essa reta, resolvemos o sistema:
Da segunda equação isolamos
Substituindo na primeira:
Passo 4
Agora tomamos como parâmetro. Logo:
Assim a reta de interseção em forma paramétrica é
Passo 5
Para evitar frações na direção, podemos reparametrizar tomando t = 3s. Então:
x = -4s - tfrac13,
y = 3s,
z = s + tfrac43
Isso dá um ponto na reta Pl(-tfrac13,0,tfrac43r) e vetor direção v = (-4,3,1), de modo que em forma vetorial: vec r = l(-tfrac13,0,tfrac43r) + s,(-4,3,1)
Resposta
Os planos são distintos (não paralelos nem coincidentes) e se intersectam em uma reta. A reta de interseção pode ser escrita vetorialmente como