Indique a posição relativa e determine, caso exista, a interseção entre as gemometrias alpha e beta :
alpha: 2 x+3 y-z+2=0 e beta: x+y+z-1=0

Passo 1

Temos os planos α e β definidos por
α: 2x+3y - z + 2 = 0,
β: x + y + z - 1 = 0
O conteúdo é posição relativa de dois planos em R^3 e, se houver interseção, determinar a reta de interseção resolvendo o sistema formados por ambas as equações. Para isso, vamos usar as definições de vetor normal e técnicas de substituição.

Passo 2

O vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c). Assim, para
α: 2x+3y - z + 2 = 0
o normal é nα = (2,3,-1) e para
β: x+y+z-1=0
o normal é nβ = (1,1,1). Dois planos são paralelos ou coincidentes se os normais são proporcionais. Aqui não há constantes k tais que (2,3,-1)=k(1,1,1), então os planos não são paralelos nem coincidentes, e sim se cruzam em uma reta.

Passo 3

Para encontrar essa reta, resolvemos o sistema:
2x+3y - z + 2 = 0,x+y+z-1=0
Da segunda equação isolamos
z = 1 - x - y
Substituindo na primeira:
2x+3y - (1 - x - y) + 2 = 0
2x+3y -1 + x + y + 2 = 0
3x + 4y + 1 = 0
x = -4y+13

Passo 4

Agora tomamos y = t como parâmetro. Logo:
x = -4t+13,
y = t,
z = 1 - x - y = 1 + 4t+13 - t = 43 + t3
Assim a reta de interseção em forma paramétrica é
x = -4t+13,y = t,z = 43 + t3

Passo 5

Para evitar frações na direção, podemos reparametrizar tomando t = 3s. Então:
x = -4s - tfrac13,
y = 3s,
z = s + tfrac43
Isso dá um ponto na reta Pl(-tfrac13,0,tfrac43r) e vetor direção v = (-4,3,1), de modo que em forma vetorial:
vec r = l(-tfrac13,0,tfrac43r) + s,(-4,3,1)

Resposta

Os planos são distintos (não paralelos nem coincidentes) e se intersectam em uma reta. A reta de interseção pode ser escrita vetorialmente como
vec r = l(-tfrac13,0,tfrac43r) + s,(-4,3,1)

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