Indique a posição relativa e determine, caso exista, a interseção entre as gemometrias alpha e beta :
alpha: x+y-z+2=0 e beta: x-1=y-1=z-1

Passo 1

Temos o plano alpha dado por x+y-z+2=0 e a reta beta definida simetricamente por x-1=y-1=z-1. O conteúdo aqui é determinar a posição relativa entre uma reta e um plano e, se elas se interceptam, achar o ponto de interseção. Para isso, vamos escrever a reta em forma paramétrica e substituir na equação do plano.

Passo 2

Para colocar a reta beta em forma paramétrica, igualamos x-1=y-1=z-1 a um parâmetro t. Assim obtemos:
x=1+t,
y=1+t,
z=1+t

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação do plano x+y-z+2=0:
(1+t)+(1+t)-(1+t)+2=0

Passo 4

Simplificamos para encontrar t:
1+t+1+t-1-t+2=0
(1+1-1+2)+(t+t-t)=3+t=0
Logo t=-3.

Passo 5

Substituindo t=-3 de volta na forma paramétrica da reta, temos:
x=1-3=-2, y=1-3=-2, z=1-3=-2
Portanto a reta intercepta o plano em um único ponto P(-2,-2,-2), ou seja, são secantes.

Resposta

A reta e o plano são secantes e intersectam-se no ponto P(−2, −2, −2).

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