Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva
em cada caso:
e C é a curva interseção do cilindro
, com o plano
, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular uma integral de linha ao longo da curva $ C $. A função vetorial dada é $ F(x, y, z) = (y - z, z - x, x - y) $. A curva $ C $ é a interseção do cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ com o plano $ x + z = 1 $, e ela está orientada positivamente. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de $ F $, e parametrizar a superfície limitada por $ C $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral de superfície sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como fronteira. A fórmula é:
Ou seja, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, a gente pode calcular a integral de superfície do rotacional de $ \mathbf{F} $ sobre $ S $.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $. O rotacional de $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
Substituindo $ \mathbf{F} = (y - z, z - x, x - y) $:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ cuja borda seja a curva $ C $. Vamos escolher o disco no plano $ x + z = 1 $ limitado pelo cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver o plano para $ z $:
Então, a parametrização pode ser:
com $ x^2 + y^2 \leq 1 $.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície $ S $. Como a superfície é $ z = 1 - x $, podemos escrever a equação vetorial como:
Mas precisamos normalizá-lo e verificar a orientação. A orientação positiva significa que o vetor normal deve seguir a regra da mão direita em relação à orientação de $ C $.
Passo 6
Agora, calculamos a integral de superfície:
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 7
A região $ D $ é o disco $ x^2 + y^2 \leq 1 $, que tem área $ \pi \cdot 1^2 = \pi $. Então,
Resposta
A integral de linha ao longo da curva $ C $ é $ 2\pi $.