Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva C em cada caso:
F(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y) e C é a curva interseção do cilindro x^2+y^2=1, com o plano x+z=1, orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular uma integral de linha ao longo da curva $ C $. A função vetorial dada é $ F(x, y, z) = (y - z, z - x, x - y) $. A curva $ C $ é a interseção do cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ com o plano $ x + z = 1 $, e ela está orientada positivamente. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de $ F $, e parametrizar a superfície limitada por $ C $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral de superfície sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como fronteira. A fórmula é:
C
Ou seja, ao invés de calcular a integral de linha diretamente, a gente pode calcular a integral de superfície do rotacional de $ \mathbf{F} $ sobre $ S $.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $. O rotacional de $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
F
Substituindo $ \mathbf{F} = (y - z, z - x, x - y) $:
F = (Fx, Fy, Fz)
Calculando as derivadas:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ cuja borda seja a curva $ C $. Vamos escolher o disco no plano $ x + z = 1 $ limitado pelo cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver o plano para $ z $:
S
Então, a parametrização pode ser:
C
com $ x^2 + y^2 \leq 1 $.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície $ S $. Como a superfície é $ z = 1 - x $, podemos escrever a equação vetorial como:
n
Mas precisamos normalizá-lo e verificar a orientação. A orientação positiva significa que o vetor normal deve seguir a regra da mão direita em relação à orientação de $ C $.

Passo 6

Agora, calculamos a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (-2, -2, 0) cdot (-1, 0, 1) , dA
Fazendo o produto escalar:
(-2)(-1) + (-2)(0) + (0)(1) = 2 + 0 + 0 = 2
Então, a integral fica:
integral duplaD 2 , dA

Passo 7

A região $ D $ é o disco $ x^2 + y^2 \leq 1 $, que tem área $ \pi \cdot 1^2 = \pi $. Então,
D

Resposta

A integral de linha ao longo da curva $ C $ é $ 2\pi $.

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