Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva
em cada caso:
E a curva
é parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva $ C $ para o campo vetorial dado:
A curva $ C $ é parametrizada por:
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada $ C $ à integral de superfície do rotacional de $ \mathbf{F} $ sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como fronteira. Para isso, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $ e parametrizar a superfície $ S $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é representado por $ \nabla \times \mathbf{F} $. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
Então,
- Segunda componente:
Então,
- Terceira componente:
Então,
Portanto, o rotacional de $ \mathbf{F} $ é:
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ com a curva $ C $ como sua fronteira. Observando a parametrização de $ \gamma(t) = \left(2 \cos(t),, \sin(t),, 4 - 2 \sin(t)\right) $, vemos que a curva está no espaço tridimensional, mas podemos simplificar escolhendo uma superfície plana para facilitar os cálculos.
Vamos projetar a curva $ C $ no plano $ y
z $. Observando a terceira coordenada $ z = 4 - 2 \sin(t) $, podemos expressar $ z $ em termos de $ y $:
Então, a superfície $ S $ pode ser definida por:
Essa é uma superfície plana que liga a curva $ C $.
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de superfície:
Onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $. Como $ S $ está definida pela equação $ z = 4 - 2y $, podemos reescrevê-la como:
O vetor normal $ \mathbf{n} $ pode ser obtido a partir dos coeficientes de $ y $ e $ z $ na equação da superfície:
Agora, precisamos normalizar esse vetor:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral de superfície. Sabemos que:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ y $. Observando a parametrização de $ \gamma(t) $:
Como $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 1 $. Portanto, integraremos $ y $ de $ -1 $ a $ 1 $.
Para $ x $, da parametrização:
Mas como estamos integrando em termos de $ y $, e a superfície é $ z = 4 - 2y $, podemos expressar $ x $ em termos de $ y $:
Usando a identidade $ \cos(\arcsin(y)) = \sqrt{1 - y^{2}} $, temos:
Então, para cada $ y $, $ x $ varia de $ -2 \sqrt{1 - y^{2}} $ a $ 2 \sqrt{1 - y^{2}} $.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para calcular a integral de superfície:
Primeiro, integramos em $ x $:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 7
Para resolver a integral:
Vamos fazer a substituição $ u = 1 - y^{2} $, então $ du = -2y , dy $. No entanto, essa substituição não resolve diretamente a integral. Em vez disso, vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira integral é a área de um semicírculo de raio 1, que é $ \frac{\pi}{2} $. A segunda integral é uma função ímpar multiplicada por uma função par, resultando em zero devido à simetria em relação à origem.
Portanto:
Passo 8
Agora, voltando à integral original:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva $ C $ é igual a $ \dfrac{2\pi}{\sqrt{5}} $.