Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva C em cada caso:
F(x, y, z)=(z+y^2, e^y^2+1, ln (z^2+1)+y)
E a curva C é parametrizada por gamma(t)=(2 cos (t), sen(t), 4-2 sen(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva $ C $ para o campo vetorial dado:
C
A curva $ C $ é parametrizada por:
F(x, y, z) = (z + y^2,, e^y^2 + 1,, ln (z^2 + 1) + y)
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada $ C $ à integral de superfície do rotacional de $ \mathbf{F} $ sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como fronteira. Para isso, precisamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $ e parametrizar a superfície $ S $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de $ \mathbf{F} $, que é representado por $ \nabla \times \mathbf{F} $. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
F
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
nabla times F
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z,; partial F1partial z - partial F3partial x,; partial F2partial x - partial F1partial y )
Então,
partial F3partial y = partialpartial y ( ln(z^2 + 1) + y ) = 1
  1. Segunda componente:
partial F2partial z = partialpartial z ( e^y^2 + 1 ) = 0
( nabla times F )1 = 1 - 0 = 1
Então,
partial F1partial z = partialpartial z ( z + y^2 ) = 1
  1. Terceira componente:
partial F3partial x = partialpartial x ( ln(z^2 + 1) + y ) = 0
( nabla times F )2 = 1 - 0 = 1
Então,
partial F2partial x = partialpartial x ( e^y^2 + 1 ) = 0
Portanto, o rotacional de $ \mathbf{F} $ é:
partial F1partial y = partialpartial y ( z + y^2 ) = 2y

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ com a curva $ C $ como sua fronteira. Observando a parametrização de $ \gamma(t) = \left(2 \cos(t),, \sin(t),, 4 - 2 \sin(t)\right) $, vemos que a curva está no espaço tridimensional, mas podemos simplificar escolhendo uma superfície plana para facilitar os cálculos.
Vamos projetar a curva $ C $ no plano $ y S z $. Observando a terceira coordenada $ z = 4 - 2 \sin(t) $, podemos expressar $ z $ em termos de $ y $:
C
Então, a superfície $ S $ pode ser definida por:
gamma(t) = (2 cos(t),, sin(t),, 4 - 2 sin(t))
Essa é uma superfície plana que liga a curva $ C $.

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $. Como $ S $ está definida pela equação $ z = 4 - 2y $, podemos reescrevê-la como:
n
O vetor normal $ \mathbf{n} $ pode ser obtido a partir dos coeficientes de $ y $ e $ z $ na equação da superfície:
S
Agora, precisamos normalizar esse vetor:
S
Então, o vetor normal unitário é:
z = 4 - 2y

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral de superfície. Sabemos que:
(nabla times F) cdot n = (1,, 1,, -2y) cdot (0,, 2raiz5,, 1raiz5) = 2raiz5 times 1 + 1raiz5 times (-2y) = 2 - 2yraiz5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ y $. Observando a parametrização de $ \gamma(t) $:
y
Como $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 1 $. Portanto, integraremos $ y $ de $ -1 $ a $ 1 $.
Para $ x $, da parametrização:
gamma(t)
Mas como estamos integrando em termos de $ y $, e a superfície é $ z = 4 - 2y $, podemos expressar $ x $ em termos de $ y $:
y = sin(t)
Usando a identidade $ \cos(\arcsin(y)) = \sqrt{1 - y^{2}} $, temos:
t
Então, para cada $ y $, $ x $ varia de $ -2 \sqrt{1 - y^{2}} $ a $ 2 \sqrt{1 - y^{2}} $.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral-1^1 integral-2 raiz1 - y^2^2 raiz1 - y^2 2 - 2yraiz5 , dx , dy
Primeiro, integramos em $ x $:
x
Então, a integral fica:
integral-2 raiz1 - y^2^2 raiz1 - y^2 dx = 4 raiz1 - y^2
Simplificando:
2raiz5 integral-1^1 (2 - 2y) raiz1 - y^2 , dy

Passo 7

Para resolver a integral:
integral-1^1 (1 - y) raiz1 - y^2 , dy
Vamos fazer a substituição $ u = 1 - y^{2} $, então $ du = -2y , dy $. No entanto, essa substituição não resolve diretamente a integral. Em vez disso, vamos dividir a integral em duas partes:
u = 1 - y^2
A primeira integral é a área de um semicírculo de raio 1, que é $ \frac{\pi}{2} $. A segunda integral é uma função ímpar multiplicada por uma função par, resultando em zero devido à simetria em relação à origem.
Portanto:
du = -2y , dy

Passo 8

Agora, voltando à integral original:
4raiz5 times pi2 = 2piraiz5

Resposta

A integral de linha ao longo da curva $ C $ é igual a $ \dfrac{2\pi}{\sqrt{5}} $.

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