Indique a posição relativa e determine, caso exista, a interseção entre as gemometrias alpha e beta :
alpha: x+y-z+2=0 e beta: 2 x+2 y-2 z-1=0

Passo 1

Temos dois planos em R^3: alpha: x+y-z+2=0 e beta: 2x+2y-2z-1=0. O conteúdo é posição relativa de planos, e vamos precisar usar vetores normais e comparar proporções entre seus coeficientes.

Passo 2

O vetor normal de alpha é nalpha=(1,1,-1) e o de beta é nbeta=(2,2,-2). Como nbeta=2nalpha, os planos são paralelos.

Passo 3

Para verificar se coincidem, comparamos as constantes dos termos independentes. Em alpha temos x+y-z=-2 e em beta temos 2(x+y-z)=1, ou seja x+y-z=1/2. Como -2neq1/2, não são o mesmo plano.

Passo 4

Logo, alpha e beta são paralelos e distintos, e sua interseção é o conjunto vazio.

Resposta

Os planos são paralelos e não coincidentes, e não há interseção (interseção = ∅).

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