Indique a posição relativa e determine, caso exista, a interseção entre as gemometrias alpha e beta :
alpha: x2=y-1=z-1 e beta: x-1=y-1=z-1

Passo 1

Começamos resumindo o enunciado: precisamos indicar a posição relativa e determinar, se existir, a interseção entre as geometrias α e β definidas por equações simétricas. O conteúdo envolve retas no espaço e usaremos forma paramétrica e comparação de coordenadas.

Passo 2

Para converter em forma paramétrica, atribuímos um parâmetro a cada conjunto de frações. Para α, seja x/2=y-1=z-1=t, daí obtemos:
alpha:x=2t,y=1+t,z=1+t

Passo 3

De modo análogo, para β tomamos x-1=y-1=z-1=s, resultando em:
beta:x=1+s,y=1+s,z=1+s

Passo 4

Para verificar interseção, igualamos as coordenadas de α e β: 2t=1+s, 1+t=1+s e 1+t=1+s. Das duas últimas vem t=s. Substituindo em 2t=1+s obtemos 2t=1+t e, portanto, t=1 e s=1. No valor t=s=1, o ponto em comum é (x,y,z)=(2,2,2).

Passo 5

Como os vetores-direção (2,1,1) e (1,1,1) não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas e, tendo um ponto em comum, elas são concorrentes.

Resposta

As retas α e β são concorrentes e intersectam-se no ponto (2,2,2).

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