Indique em que quadrante do círculo trigonométrico é representado cada número real dado:
\frac{8 \pi}{7}

Passo 1

O enunciado pede: indicar em que quadrante do círculo trigonométrico está representado o número real \dfrac{8\pi}{7}.
Informações dadas:
  • O número é \dfrac{8\pi}{7}.
  • Assume-se o círculo trigonométrico padrão, com ângulos medidos em radianos e valores principais no intervalo [0,2\pi) quando necessário.

Passo 2

Entender o que são os quadrantes (faixa de valores dos ângulos em radianos). Vou escrever as faixas abertas que definem cada quadrante (essas são as convenções usuais; ângulos exatamente sobre um eixo ficam entre quadrantes, mas aqui não é o caso):
  • Primeiro quadrante: 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}.
  • Segundo quadrante: \dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi.
  • Terceiro quadrante: \pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2}.
  • Quarto quadrante: \dfrac{3\pi}{2}<\theta<2\pi.
Explicação rápida (didática): cada quadrante corresponde a um quarto de volta no círculo. Em radianos uma volta inteira é 2\pi, metade é \pi e um quarto é \dfrac{\pi}{2}. Assim dividimos o intervalo 0 a 2\pi em quatro partes iguais.

Passo 3

Verificar em que intervalo cai \dfrac{8\pi}{7}. Primeiro compare com \pi:
\pi = \dfrac{7\pi}{7}, \qquad \dfrac{8\pi}{7}>\dfrac{7\pi}{7}=\pi.
Portanto \dfrac{8\pi}{7}>\pi, então não pode ser nos quadrantes I ou II.

Passo 4

Agora compare com \dfrac{3\pi}{2}. É útil escrever ambos com denominador comum 14:
\dfrac{8\pi}{7}=\dfrac{16\pi}{14}, \qquad \dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{14}.
Como \dfrac{16\pi}{14}<\dfrac{21\pi}{14}, segue que
\pi<\dfrac{8\pi}{7}<\dfrac{3\pi}{2}.
Pela lista de faixas dos quadrantes do Passo 2, esse intervalo corresponde ao terceiro quadrante.

Passo 5

Contexto útil para a prova: ângulos maiores que \pi e menores que \tfrac{3\pi}{2} estão no terceiro quadrante, onde tanto o cosseno quanto o seno são negativos. Também é comum calcular o ângulo de referência: \dfrac{8\pi}{7}-\pi=\dfrac{\pi}{7} (não pedido, mas bom saber).

Resposta

Quadrante III

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