Indique an reta real o conjunto de todos os x que satisfazem as seguintes condições. Nomeie também cada conjunto, usando a notação de intervalos (em alguns casos, você também precisará do símbolo cup).
11+x^2 <= a (dê a resposta em termos de a, distinguindo os vários casos).

Passo 1

Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x em ℝ tais que 11+x^2<= a. O conteúdo aqui é resolver desigualdades envolvendo parâmetro e função racional. Vamos precisar conhecer o alcance de 11+x^2 e separar em casos de acordo com o valor de a.

Passo 2

Observe que para todo xinℝ temos 1+x^2>=1, logo 0<11+x^2<=1. Isso diz que a expressão à esquerda nunca é negativa e nunca ultrapassa 1. Portanto faz sentido separar os casos em que a é menor ou igual a 0, entre 0 e 1, ou maior ou igual a 1.

Passo 3

Se a<=0, o lado direito é não positivo e o lado esquerdo é sempre positivo, então não existe x que satisfaça 11+x^2<= a. O conjunto solução é vazio.

Passo 4

Se a>=1, como 11+x^2<=1<= a para todo x, qualquer real satisfaz a desigualdade. O conjunto solução é todo ℝ.

Passo 5

Para 0, podemos inverter os dois lados (porque tudo é positivo) e obter:
1+x^2>= 1a

Passo 6

Isso equivale a
$$x^2\ge \frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}.
$$

Passo 7

Tomando raiz quadrada, escrevemos t=raiz1-aa>0. Então a desigualdade fica |x|>= t, ou seja
$$x\le -\sqrt{\tfrac{1-a}{a}}\quadou\quad x\ge \sqrt{\tfrac{1-a}{a}}.
$$

Resposta

Para a\le0: ∅
Para 0<a<1: (−∞, −√((1−a)/a)] ∪ [√((1−a)/a), +∞)
Para a\ge1: (−∞, +∞)

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