Indique an reta real o conjunto de todos os
que satisfazem as seguintes condições. Nomeie também cada conjunto, usando a notação de intervalos (em alguns casos, você também precisará do símbolo
).
(dê a resposta em termos de
, distinguindo os vários casos).
Passo 1
Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x em ℝ tais que
. O conteúdo aqui é resolver desigualdades envolvendo parâmetro e função racional. Vamos precisar conhecer o alcance de
e separar em casos de acordo com o valor de a.
Passo 2
Observe que para todo
temos
, logo
. Isso diz que a expressão à esquerda nunca é negativa e nunca ultrapassa 1. Portanto faz sentido separar os casos em que a é menor ou igual a 0, entre 0 e 1, ou maior ou igual a 1.
Passo 3
Se
, o lado direito é não positivo e o lado esquerdo é sempre positivo, então não existe
que satisfaça
. O conjunto solução é vazio.
Passo 4
Se
, como
para todo x, qualquer real satisfaz a desigualdade. O conjunto solução é todo ℝ.
Passo 5
Para
, podemos inverter os dois lados (porque tudo é positivo) e obter:
Passo 6
Isso equivale a
$$x^2\ge \frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}.
$$
Passo 7
Tomando raiz quadrada, escrevemos
. Então a desigualdade fica
, ou seja
$$x\le -\sqrt{\tfrac{1-a}{a}}\quadou\quad x\ge \sqrt{\tfrac{1-a}{a}}.
$$
Resposta
Para a\le0: ∅
Para 0<a<1: (−∞, −√((1−a)/a)] ∪ [√((1−a)/a), +∞)
Para a\ge1: (−∞, +∞)