Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
{números naturais}
g)
h)
{números naturais}
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado (não vou resolver nada aqui, só organizar). As afirmações a verificar são:
a)
b)
c)
d)
e)
f) {números naturais}
g)
h) {números naturais}
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
O que é pedido: para cada item, indicar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações implícitas que vamos usar:
- A notação
significa “é elemento de”. - A notação
significa “é subconjunto de” (ou seja, todo elemento da esquerda pertence à direita). - A notação
é o oposto: “é superset de” (contém todos os elementos do conjunto à direita). - A expressão “
” ou “ ” são as negações desses predicados. - Por “números naturais” vamos entender
(incluir ou não não altera a resposta dos itens com e ).
Passo 2
Explicar bem os conceitos e como testar cada tipo de afirmação (aulas rápidas, passo a passo).
- Definição de elemento: dizer
significa que o objeto aparece como um dos membros (elementos) da lista que descreve . Ex.: porque olhando a lista vemos o número . - Definição de subconjunto: dizer
significa que "todo elemento de também é elemento de ". Para testar percorre-se cada elemento de e verifica-se se ele está em . Se algum elemento de não estiver em , então . - Observação importante (fontes de erro comuns): há diferença entre
e . O primeiro é um número; o segundo é um conjunto cujo único elemento é o número . A relação pede conjuntos à esquerda e à direita; já pede um elemento (por exemplo ) e um conjunto (por exemplo ). - Igualdade e ordem: conjuntos não têm ordem.
e são o mesmo conjunto. Assim é verdadeiro se entendemos como “contém (ou é igual a)”.
Passo 3
Analisar o item (a) com explicação didática e contas mínimas.
Afirmação (a): .
Afirmação (a):
- Para ver se
é subconjunto, preciso verificar todos os elementos de . Há só um elemento: . - Verifico se
é elemento do conjunto da direita: . Sim, aparece na lista. - Como todo elemento de
(o único, ) está em , então é verdadeiro.
Passo 4
Analisar o item (b) com explicação.
Afirmação (b): .
Afirmação (b):
- Conjuntos não têm ordem, então
. -
significa que o conjunto da esquerda contém todos os elementos do conjunto da direita (pode ser por igualdade). Como os dois conjuntos são idênticos, a condição é satisfeita. - Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisar o item (c) com explicação sobre tipo errado.
Afirmação (c): .
Afirmação (c):
- À esquerda temos
, que é um número (não um conjunto). A relação exige que o lado esquerdo seja um conjunto. - Logo a expressão tal como escrita é mal formada para a predicação de subconjunto; em termos de verdade lógica, considerar
como conjunto distinto de faz com que a afirmação seja falsa (não se pode aceitar ). - Observação prática: se a intenção tivesse sido
, aí seria verdadeira, porque está na lista da direita. Mas do jeito que está ( ) é falsa.
Passo 6
Analisar o item (d).
Afirmação (d): .
Afirmação (d):
- Verificar se o número
aparece na lista do conjunto. Aparece sim. - Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisar o item (e).
Afirmação (e): .
Afirmação (e):
- Teste de subconjunto: cada elemento de
deve estar em . Os elementos são e ; ambos aparecem em . - Logo
é verdade, o que implica que é verdadeiro.
Passo 8
Analisar o item (f) com cuidado sobre números naturais.
Afirmação (f): {números naturais}.
Afirmação (f):
- Pelo menos um elemento de
precisa não pertencer ao conjunto dos naturais para que a negação de subconjunto seja verdadeira. -
é número natural. não é número natural (naturais são ; negativos não pertencem a ). - Como
, nem todos os elementos de estão em . Portanto é verdadeiro.
Passo 9
Analisar o item (g).
Afirmação (g): .
Afirmação (g):
- Verificar presença:
aparece na lista do conjunto. - Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 10
Analisar o item (h).
Afirmação (h): {números naturais}.
Afirmação (h):
- Números naturais são inteiros não negativos (
). A fração não é um inteiro, logo não pertence a . - Portanto
é verdadeiro.
Resposta
a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Verdadeiro
h) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Verdadeiro
h) Verdadeiro