Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) \{5\} \subset\{0,5,10,15\}
b) \{a, b, c\} \supset\{b, a, c\}
c) 2 \subset\{0,2,4\}
d) 8 \in\{2,4,6,8,10\}
e) \{1,2,3\} \supset\{1,2\}
f) \{-1,6\} \not \subset {números naturais}
g) 3 \in\{0,3,6,9\}
h) \frac{1}{2} \notin {números naturais}

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado (não vou resolver nada aqui, só organizar). As afirmações a verificar são:
a) \{5\} \subset \{0,5,10,15\}
b) \{a,b,c\} \supset \{b,a,c\}
c) 2 \subset \{0,2,4\}
d) 8 \in \{2,4,6,8,10\}
e) \{1,2,3\} \supset \{1,2\}
f) \{-1,6\} \not\subset {números naturais}
g) 3 \in \{0,3,6,9\}
h) \dfrac{1}{2} \notin {números naturais}
O que é pedido: para cada item, indicar se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Informações implícitas que vamos usar:
  • A notação \in significa “é elemento de”.
  • A notação \subset significa “é subconjunto de” (ou seja, todo elemento da esquerda pertence à direita).
  • A notação \supset é o oposto: “é superset de” (contém todos os elementos do conjunto à direita).
  • A expressão “ \notin” ou “ \not\subset” são as negações desses predicados.
  • Por “números naturais” vamos entender \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (incluir 0 ou não não altera a resposta dos itens com -1 e \tfrac{1}{2}).

Passo 2

Explicar bem os conceitos e como testar cada tipo de afirmação (aulas rápidas, passo a passo).
  • Definição de elemento: dizer x \in A significa que o objeto x aparece como um dos membros (elementos) da lista que descreve A. Ex.: 3 \in \{1,3,5\} porque olhando a lista vemos o número 3.
  • Definição de subconjunto: dizer B \subset A significa que "todo elemento de B também é elemento de A". Para testar B \subset A percorre-se cada elemento de B e verifica-se se ele está em A. Se algum elemento de B não estiver em A, então B \not\subset A.
  • Observação importante (fontes de erro comuns): há diferença entre 2 e \{2\}. O primeiro é um número; o segundo é um conjunto cujo único elemento é o número 2. A relação \subset pede conjuntos à esquerda e à direita; já \in pede um elemento (por exemplo 2) e um conjunto (por exemplo \{0,2,4\}).
  • Igualdade e ordem: conjuntos não têm ordem. \{a,b,c\} e \{b,a,c\} são o mesmo conjunto. Assim \{a,b,c\} \supset \{b,a,c\} é verdadeiro se entendemos \supset como “contém (ou é igual a)”.

Passo 3

Analisar o item (a) com explicação didática e contas mínimas.
Afirmação (a): \{5\} \subset \{0,5,10,15\}.
  • Para ver se \{5\} é subconjunto, preciso verificar todos os elementos de \{5\}. Há só um elemento: 5.
  • Verifico se 5 é elemento do conjunto da direita: 5 \in \{0,5,10,15\}. Sim, aparece na lista.
  • Como todo elemento de \{5\} (o único, 5) está em \{0,5,10,15\}, então \{5\} \subset \{0,5,10,15\} é verdadeiro.

Passo 4

Analisar o item (b) com explicação.
Afirmação (b): \{a,b,c\} \supset \{b,a,c\}.
  • Conjuntos não têm ordem, então \{b,a,c\}=\{a,b,c\}.
  • \supset significa que o conjunto da esquerda contém todos os elementos do conjunto da direita (pode ser por igualdade). Como os dois conjuntos são idênticos, a condição é satisfeita.
  • Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisar o item (c) com explicação sobre tipo errado.
Afirmação (c): 2 \subset \{0,2,4\}.
  • À esquerda temos 2, que é um número (não um conjunto). A relação \subset exige que o lado esquerdo seja um conjunto.
  • Logo a expressão tal como escrita é mal formada para a predicação de subconjunto; em termos de verdade lógica, considerar 2 como conjunto distinto de \{2\} faz com que a afirmação seja falsa (não se pode aceitar 2\subset\cdots).
  • Observação prática: se a intenção tivesse sido \{2\}\subset\{0,2,4\}, aí seria verdadeira, porque 2 está na lista da direita. Mas do jeito que está ( 2\subset\ldots) é falsa.

Passo 6

Analisar o item (d).
Afirmação (d): 8 \in \{2,4,6,8,10\}.
  • Verificar se o número 8 aparece na lista do conjunto. Aparece sim.
  • Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisar o item (e).
Afirmação (e): \{1,2,3\} \supset \{1,2\}.
  • Teste de subconjunto: cada elemento de \{1,2\} deve estar em \{1,2,3\}. Os elementos são 1 e 2; ambos aparecem em \{1,2,3\}.
  • Logo \{1,2\}\subset\{1,2,3\} é verdade, o que implica que \{1,2,3\}\supset\{1,2\} é verdadeiro.

Passo 8

Analisar o item (f) com cuidado sobre números naturais.
Afirmação (f): \{-1,6\} \not\subset {números naturais}.
  • Pelo menos um elemento de \{-1,6\} precisa não pertencer ao conjunto dos naturais para que a negação de subconjunto seja verdadeira.
  • 6 é número natural. -1 não é número natural (naturais são 0,1,2,\dots; negativos não pertencem a \mathbb{N}).
  • Como -1\notin\mathbb{N}, nem todos os elementos de \{-1,6\} estão em \mathbb{N}. Portanto \{-1,6\}\not\subset\mathbb{N} é verdadeiro.

Passo 9

Analisar o item (g).
Afirmação (g): 3 \in \{0,3,6,9\}.
  • Verificar presença: 3 aparece na lista do conjunto.
  • Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 10

Analisar o item (h).
Afirmação (h): \dfrac{1}{2} \notin {números naturais}.
  • Números naturais são inteiros não negativos ( 0,1,2,\dots). A fração \tfrac{1}{2} não é um inteiro, logo não pertence a \mathbb{N}.
  • Portanto \dfrac{1}{2}\notin\mathbb{N} é verdadeiro.

Resposta

a) Verdadeiro
b) Verdadeiro
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Verdadeiro
f) Verdadeiro
g) Verdadeiro
h) Verdadeiro

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