Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
W=\left\{X \in M(2,2) ; X^{t}=-X\right\} tem dimensão igual 2 .

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{X \in M(2,2)\mid X^{t} = -X\}
e pergunta se \dim(W)=2. Vamos usar a definição de dimensão como o número de parâmetros livres em uma base de W.

Passo 2

Escrevemos um elemento genérico
X = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
e impomos
X^{t} = \begin{pmatrix}a & c\\\ b & d\end{pmatrix} \;=\; -\,X = \begin{pmatrix}-a & -b\\\\ -c & -d\end{pmatrix}.
Igualando entradas obtemos a=-a, d=-d, c=-b e b=-c, isto é, a=0, d=0 e c=-b.

Passo 3

Portanto todo X\in W tem a forma
X = \begin{pmatrix}0 & b\\\\ -b & 0\end{pmatrix},
com b\in\mathbb{R}. Uma base de W é
\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
logo \dim(W)=1.

Passo 4

A afirmação de que \dim(W)=2 é equivocada, pois na verdade \dim(W)=1.

Resposta

ERRADA

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