Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

Enunciado e dados: temos a matriz
\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
Perguntas que o enunciado faz: (1) esta matriz está na forma escalonada? (2) esta matriz está na forma escalonada reduzida por linha? (3) ou não está em nenhuma das formas?
Informações relevantes dadas: matriz de 2\times3 com primeira linha (1,0,2) e segunda linha (0,1,-1). Nada mais é fornecido.]

Passo 2

O que significa “forma escalonada” (REF) — explicação didática:
  • Um “leading entry” (entrada principal) de uma linha não nula é o primeiro número não nulo dessa linha, lendo da esquerda para a direita.
  • Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz três condições:
    1. Todas as linhas zero, se houver, estão embaixo das linhas não nulas.
    2. O leading entry de cada linha não nula está à direita do leading entry da linha imediatamente acima (ou seja, os pivôs “andam para a direita” ao descer).
    3. Todos os elementos abaixo de cada leading entry são zeros.
      Vou usar essas três condições para verificar a nossa matriz. (Exemplo rápido: \begin{pmatrix}1&2\\\ 0&3\end{pmatrix} é escalonada porque o pivô da segunda linha está à direita do pivô da primeira e não há elementos não nulos abaixo dos pivôs.)

Passo 3

Verificação da forma escalonada para a matriz dada:
  • As linhas não são nulas, então a condição 1 (linhas nulas embaixo) está satisfeita automaticamente.
  • Identificamos os leading entries:
    • Na primeira linha (1,0,2) o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 1, ou seja o leading entry está em \text{coluna }1.
    • Na segunda linha (0,1,-1) o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 2, ou seja o leading entry está em \text{coluna }2.
      Assim o leading da segunda linha está à direita do leading da primeira (coluna 2> coluna 1), portanto a condição 2 é satisfeita.
  • Agora a condição 3 (todos os elementos abaixo de cada leading entry são zeros):
    • Abaixo do leading da primeira linha (coluna 1) temos o elemento em posição (2,1) que vale 0.
    • Abaixo do leading da segunda linha não há linhas (é a última linha), então não há problema.
      Portanto todas as três condições da forma escalonada são satisfeitas. Conclusão parcial: a matriz está em forma escalonada.

Passo 4

O que significa “forma escalonada reduzida por linha” (RREF) — explicação didática:
  • Uma matriz está em forma escalonada reduzida por linha se:
    1. Está em forma escalonada (as três condições do passo anterior).
    2. O leading entry de cada linha é 1.
    3. Cada leading 1 é o único elemento não nulo em sua coluna — ou seja, acima e abaixo de cada leading 1 todos os elementos são zero.
      Essas condições tornam os pivôs “limpos”: são 1s isolados nas suas colunas. Exemplo: \begin{pmatrix}1&0&2\\\ 0&1&3\end{pmatrix} tem pivôs 1 em colunas 1 e 2; para ser RREF precisamos também zeros acima e abaixo desses pivôs (no exemplo, já há).

Passo 5

Verificação da forma escalonada reduzida por linha para a matriz dada:
  • Já vimos no Passo 3 que a matriz está em forma escalonada, então a condição 1 de RREF está OK.
  • Verificamos os leading entries: ambos são 1 (primeira linha leading 1 em coluna 1; segunda linha leading 1 em coluna 2). Assim a condição 2 de RREF (leading = 1) é satisfeita.
  • Verificamos se cada coluna de pivot tem zeros em todas as outras entradas:
    • Coluna 1 (pivot da linha 1): os elementos são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}. O único elemento não nulo é o pivot 1, logo acima/abaixo do pivot está zero.
    • Coluna 2 (pivot da linha 2): os elementos são \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. O único elemento não nulo é o pivot 1.
      Portanto cada leading 1 é o único elemento não nulo em sua coluna, atendendo a condição 3 de RREF.
  • Observação sobre a coluna 3: ela pode ter entradas não nulas (aqui 2 e -1); isso é permitido em RREF desde que as colunas de pivô estejam limpas. Não existe exigência de que as entradas à direita do pivô sejam zero.
Concluímos que todas as condições de RREF são satisfeitas.

Passo 6

Conclusão final: a matriz cumpre as condições de forma escalonada e, adicionalmente, as condições que a tornam reduzida por linha. Portanto ela está simultaneamente em forma escalonada e em forma escalonada reduzida por linha.

Resposta

A matriz está na forma escalonada e na forma escalonada reduzida por linha.

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