Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta. \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a matriz abaixo, dizendo se ela está na forma escalonada, na forma escalonada reduzida por linha ou em nenhuma das duas, e que eu justifique a resposta.
A matriz dada é
Primeiro vamos lembrar com clareza o que significa estar em forma escalonada (row echelon form). Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz, para as suas linhas, as seguintes condições:
\text{(E1)}\quad \text{todas as linhas nulas (se houver) aparecem abaixo das linhas não nulas},ã
\text{(E2)}\quad \text{o primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não-nula está à direita do pivô da linha acima},ãôãáàô
\text{(E3)}\quad \text{os elementos abaixo de cada pivô são todos zeros}.ôã
Vou explicar devagar: uma “linha nula” é uma linha com todos os elementos iguais a zero. O “pivô” de uma linha é o primeiro elemento não nulo dessa linha quando lemos da esquerda para a direita.
Passo 3
Agora a forma escalonada reduzida por linha (reduced row echelon form, RREF) exige, além de (E1)–(E3), duas condições extras:
\text{(R1)}\quad \text{cada pivô é igual a }1,ôé
\text{(R2)}\quad \text{cada coluna que contém um pivô tem zeros em todas as outras posições (ou seja, o pivô é o único elemento não nulo nessa coluna)}.éôçõôéúã
Em palavras: na forma reduzida, além de estarmos escalonados, cada pivô deve ser 1 e ser o único número não nulo em sua coluna.
Passo 4
Agora vamos analisar a matriz \;A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\; com base nas condições da forma escalonada.
Verificação de (E1): não há linhas nulas na matriz (ambas as linhas têm algum elemento não nulo), então não há problema com linhas nulas abaixo de linhas não nulas. A condição (E1) está satisfeita.
Identificar os pivôs:
Na primeira linha, o primeiro elemento não nulo é \;1\; na coluna 1. Logo o pivô da linha 1 está na coluna 1.
Na segunda linha, a primeira entrada não nula é \;2\; na coluna 3. Logo o pivô da linha 2 está na coluna 3.
Verificação de (E2): o pivô da segunda linha está na coluna 3, que está claramente à direita da coluna 1 (pivô da primeira linha). Portanto os pivôs descem para a direita conforme exigido. A condição (E2) está satisfeita.
Verificação de (E3): abaixo do pivô da primeira linha (coluna 1) não há elementos não nulos (na segunda linha a entrada na coluna 1 é \;0\;); abaixo do pivô da segunda linha não existem linhas (ou podemos ver que não há elementos abaixo), então não há violação. Logo (E3) também está satisfeita.
Conclusão parcial: todas as condições (E1)–(E3) são satisfeitas, portanto a matriz A está em forma escalonada.]
Passo 5
Agora verifico se A está em forma escalonada reduzida por linha (RREF), checando (R1) e (R2).
Verificação de (R1) — cada pivô é igual a \;1\;?
O pivô da primeira linha é \;1\; (ok). O pivô da segunda linha é \;2\;, que não é igual a \;1\;. Portanto a condição (R1) NÃO é satisfeita.
Mesmo sem (R1), verifico (R2) para entender mais: cada coluna de pivô tem zeros nas outras entradas?
Coluna 1 (pivô da linha 1): as outras entradas nessa coluna são zero (a entrada na linha 2, coluna 1 é \;0\;), então essa coluna está “limpa”.
Coluna 3 (pivô da linha 2): as outras entradas nessa coluna são zero (a entrada na linha 1, coluna 3 é \;0\;), então essa coluna também está “limpa”.
Então (R2) é satisfeita, mas falta (R1).
Como RREF exige todas as condições de RREF simultaneamente, e aqui (R1) falha, a matriz não está em forma escalonada reduzida por linha.
Passo 6
Comentário prático (útil para a prova): a matriz está muito próxima de ser RREF — basta dividir a segunda linha por \;2\; para tornar o pivô igual a \;1\;. Se eu fizer a operação de linha "multiplicar a linha 2 por \;1/2\;", obtenho
que satisfaz (E1)–(E3) e também (R1)–(R2), ou seja, essa matriz resultante está em RREF. Mas atenção: a questão pedia para classificar a matriz original A, não a matriz obtida por operações. A matriz original, portanto, não é RREF.]
Resposta
\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}: está em forma escalonada; não está em forma escalonada reduzida por linha.]