Indique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada, quais estão na forma escalonada reduzida por linha e quais não estão em nenhuma das formas. Justifique sua resposta. \left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, para a matriz dada, se ela está na forma escalonada, na forma escalonada reduzida por linha, ou em nenhuma das duas, e que eu justifique. A matriz fornecida é
Não há linhas nulas explicitamente, e os elementos da matriz são \,2,1,3,0,1,-1.]
Passo 2
Vou lembrar, de forma bem clara e simples, o que significa “forma escalonada” (REF — row echelon form). Uma matriz está em forma escalonada se, e somente se, as três condições abaixo forem satisfeitas:
\begin{aligned} &\text{(i) Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.}\\\ &\text{(ii) Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) aparece mais à direita}\\\ &\quad\text{do que o pivot da linha imediatamente acima.}\\\ &\text{(iii) Todos os elementos abaixo de um pivot são zeros (ou seja, a coluna do pivot tem zeros}\\\ &\quad\text{em todas as entradas abaixo do pivot).} \end{aligned}ããããàã
Explicando em miúdos: eu procuro, de cima para baixo, os primeiros elementos não nulos de cada linha (os pivôs) e verifico que esses pivôs “andam para a direita” conforme desço as linhas, e que abaixo de cada pivô não há valores não nulos.
Passo 3
Agora verifico as condições da forma escalonada para A.
Verificação da condição (i): A não tem linha nula, pois as duas linhas têm pelo menos um elemento não nulo. Logo, não há linhas nulas abaixo de linhas não nulas, então (i) está satisfeita.
Verificação da condição (ii): identifiquemos os pivôs linha a linha.
\text{Primeira linha: pivot é }2\text{ na coluna }1.é
\text{Segunda linha: pivot é }1\text{ na coluna }2.é
O pivot da segunda linha está na coluna 2, que é mais à direita do que a coluna 1 do pivot da primeira linha. Em símbolos: 2>1. Portanto a condição (ii) está satisfeita.
Verificação da condição (iii): abaixo do pivot da primeira linha (coluna 1) temos o elemento na segunda linha, primeira coluna, que é 0. Ou seja, abaixo do pivot 2 não há elementos não nulos. Para o pivot da segunda linha (coluna 2) não há linha abaixo, então não há violação possível. Assim, a condição (iii) também está satisfeita.
Conclusão parcial: todas as três condições da forma escalonada são satisfeitas, portanto A está em forma escalonada.
Passo 4
Agora explico o que é a forma escalonada reduzida por linha (RREF — reduced row echelon form). Uma matriz está em RREF quando, além de estar em forma escalonada, vale também:
\begin{aligned} &\text{(iv) Cada pivot é igual a }1.\\\ &\text{(v) Cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna (ou seja, acima e abaixo do pivot}\\\ &\quad\text{todos os elementos dessa coluna são zeros).} \end{aligned}ééúãã
Em palavras: pivôs normalizados para 1 e zeramos todas as outras entradas nas colunas dos pivôs.
Passo 5
Verifico as condições (iv) e (v) para A.
Checagem de (iv): o pivot da primeira linha é 2, e 2\neq1. Assim, a condição (iv) falha já de cara. Portanto A não está em RREF.
Checagem de (v) (apenas para reforçar): a coluna do segundo pivot (coluna 2) tem, acima do pivot, o valor 1 (porque na primeira linha, segunda coluna, está 1). Ou seja, na coluna do pivot da segunda linha há um elemento não nulo acima do pivot, o que viola (v). Portanto (v) também falha.
Conclusão: A não satisfaz as condições extras para RREF.
Passo 6
Para te mostrar de maneira prática como seria transformar A em RREF (assim você aprende o procedimento para a prova), vou executar operações por linhas elementares — lembrando que essas operações não mudam a classe da solução de um sistema, só mudam a aparência da matriz.
que satisfaz todas as condições (pivôs iguais a 1, cada coluna de pivot tem zeros acima e abaixo). Isso confirma pedagogicamente que era possível chegar à RREF com operações válidas; mas atenção: a pergunta era sobre a forma em que a matriz dada já se encontra, não sobre sua forma reduzida alcançável.]
Passo 7
Resumo interpretativo e motivacional: a matriz original já estava em forma escalonada porque os pivôs (coluna 1 na linha 1 e coluna 2 na linha 2) aparecem deslocados para a direita conforme descemos e não há elementos não nulos abaixo dos pivôs. Porém ela não está em forma escalonada reduzida por linha porque o primeiro pivô não é 1 e porque há um elemento não nulo acima do pivot da segunda linha. Você faria, na prova, duas verificações rápidas para decidir: (a) encontrar os pivôs e checar deslocamento; (b) checar se os pivôs são 1 e se suas colunas estão limpas (zeros acima/abaixo). Isso é rápido e confiável.
Resposta
Forma escalonada: está em forma escalonada.
Forma escalonada reduzida por linha: não está em forma escalonada reduzida por linha.
Não está em nenhuma das formas: não se aplica (ela está em forma escalonada).